Question

如圖，在平面直角坐標系中，有點M（0，-3），⊙M與x軸交于點A、B（點A在點 B的左側），與y軸交于點C、E；拋物線y=ax²+bx-8（a≠0）經過A、C兩點，點D是拋物線的頂點；
（1）求點A、B、C的坐標；
（2）試探究：當a取何值時，拋物線y=ax²+bx-8（a≠0）的對稱軸與⊙M相切？
（3）當點D在第四象限內時，連接BC、BD，且tan∠CBD=

1

2

．
①試確定a的值；
②設此時的拋物線與x軸的另一個交點是點F，在拋物線的對稱軸上找一點T，使|TM-TF|達到最大，請求出最大值與點T的坐標．

Answer 1

分析：（1）連接MA，分別求得OC、OM、MC、MA后即可得到點A、B、C的坐標；
（2）將點A的坐標代入拋物線的解析式，并表示出其對稱軸，根據切線的性質得到a的值即可；
（3）①利用兩角的正切值相等可以得到兩個角相等，并利用BD⊥AB得到-2+

1

a

=4并求得a的值即可；
②由對稱性知拋物線與x軸的另一個交點F的坐標是（12，0），再由對稱性，TF=TA，則|TM-TF|=|TM-TA|≤MA，因此，當點T是MA的延長線與對稱軸的交點時，|TM-TF|達到最大，最大值是5；據此可以求得點T的坐標．

解答：解：（1）連接MA，由題意得：OC=8，OM=3，MC=8-3=5，則MA=5，
∴OA=OB=4，
∴點A、點B、點C的坐標分別是（-4，0）、（4，0）、（0，-8），…（6分）

（2）∵拋物線y=ax²+bx-8（a≠0）經過點A，
∴0=16a-4b-8，
∴b=4a-2；
此時，y=ax²+（4a-2）x-8（a≠0），
它的對稱軸是直線：x=-

4a-2

2a

=-2+

1

a

；
要使拋物線的對稱軸與⊙M相切，則-2+

1

a

=±5，
當a=

1

7

或a=-

1

3

時，拋物線的對稱軸與⊙M相切；…（4分）

（3）①在Rt△BOC中，tan∠BCO=

4

8

=

1

2

，又tan∠CBD=

1

2

，
則∠BCO=∠CBD，
∴BD∥OC，
又∵OC⊥AB，
∴BD⊥AB，
即得：-2+

1

a

=4，
∴a=

1

6

；…（2分）
②如答圖，由對稱性，此時，拋物線與x軸的另一個交點F的坐標是（12，0），
由三角形的兩邊之差小于第三邊的性質可知：|TM-TF|≤MF，要使|TM-TF|達到最大，
則點T應在線段MF的延長線，但不可能同時在拋物線的對稱軸上，
故達不到最大值是線段MF的長；
而由對稱性，TF=TA，則|TM-TF|=|TM-TA|≤MA，
因此，當點T是MA的延長線與對稱軸的交點時，|TM-TF|達到最大，最大值是5；
∵BD∥OC，又OA=OB，
∴BT=6，
∴點T的坐標是（4，-6）；[也可求出MA所在直線的一次函數，再求點T坐標]…（2分）

點評：本題是二次函數的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和三角形的面積求法．在求有關動點問題時要注意分析題意分情況討論結果．