Question

如圖1，小明將一張直角梯形紙片沿虛線剪開，得到矩形和三角形兩張紙片，測得AB=5，AD=4．在進行如下操作時遇到了下列幾個問題，請你幫助解決．

（1）如圖2，將△EFG的頂點G移到矩形的頂點B處，再將三角形繞點B順時針旋轉使E點落在CD邊上，此時EF恰好經過點A．
①請證明：△ADE∽△FGE；②求出FG的長度；
（2）如圖3，在（1）的條件下，小明先將△EFG的邊EG和矩形的邊AB重合，然后將△EFG沿直線BC向右平移，至F點與B重合時停止．在平移過程中，設G點平移的距離為x，兩紙片重疊部分面積為y，求在平移的整個過程中，y與x的函數關系式．
（3）請直接寫出，當重疊面積y在什么范圍時，對應的平移距離x有兩個值；當重疊面積y在什么范圍時，相對應的平移距離x只有一個值？

Answer 1

分析：（1）由題意易得CE=3，DE=2，AD=4，然后經過證明△EFG∽△AED，求得FB的值即可；
（2）分兩種情況：一是x平移距離小于4時，二是x平移距離大于4時，分別求得解析式，把y=10分別代入兩式，求得x的值，注意驗證是否符合題意；
（3）當4≤y＜16時，平移的距離不等，兩紙片重疊的面積可能相等；0≤y＜4或y=16時，平移的距離不等，兩紙片重疊部分的面積也不可能相等．

解答：解：（1）①∵AB=EG=DC=5，AD=BC=4，
∴CE=

DE2-BC2

=

52-42

=3，DE=CD-CE=5-3=2，
∵AB=EG，
∴∠BAE=∠BEA，
又∵∠BAE+∠EAD=90°，∠AED+∠EAD=90°，
∴∠BAE=∠AED
在△EFG和△AED中，∠BAE=∠AED，∠FBE=∠ADE=90°，
∴△EFG∽△AED；
②∵由①知，△EFG∽△AED，
∴

BF

BE

=

AD

DE

，
∴BF=FG=

AD•BE

DE

=

4×5

2

=10；

（2）分兩種情況：一是x平移距離小于4時（如圖1），EF與AB相交于P，過P作PQ⊥EG于Q點，
∵△EFG的直角邊FG=10，EG=5，
∴tanα=

EG

FG

=

5

10

=

1

2

，
∵∠FGE=90°，
∴PQ∥FC，四邊形PQGB是矩形，
∴∠EPQ=∠F，
根據這個正切值，可求出相應的線段的數值，得出FB=FG-BG=10-x，BP=

FB

2

=

10-x

2

，PQ=x，EQ=

x

2

∴重疊部分y=PB•BG+

1

2

BG•EQ=

10-x

2

+

1

2

x×

x

2

=-

1

4

x²+5x，
二是x平移距離大于4時，EF與AB相交于P，與CD相交于R，
∴y=PB•BC+

1

2

PQ•RQ=

4(10-x)

2

+

1

2

×4×2=24-2x；

（3）∵當4≤y＜16時，平移的距離不等，兩紙片重疊的面積可能相等，
∴此時對應的平移距離x有兩個值；
∵0≤y＜4或y=16時，平移的距離不等，兩紙片重疊部分的面積也不可能相等，
∴此時對應的平移距離x有一個值．

點評：本題考查了相似形綜合題，涉及到梯形、矩形的性質等知識點的運用，能熟練地運用性質進行推理和計算是解此題的關鍵，題目比較典型，綜合性比較強，有一定的難度，在解答（2）時用了分類討論思想．