Question

已知直線m的解析式為y=-

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x+1與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，點(diǎn)P（1，a）為坐標(biāo)系內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)．
（1）畫出直線m；
（2）求△ABC的面積；
（3）若△ABC與△ABP面積相等，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)x=0時(shí)以及y=0時(shí)，求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可畫出圖象；
（2）利用勾股定理得到AB的長；等腰Rt△ABC的面積為AB平方的一半；
（3）實(shí)際上給定△ABP的面積，求P點(diǎn)坐標(biāo)．利用面積和差求△ABP的面積，注意要分類討論．

解答：解：（1）令y=-

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x+1中x=0，得點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，1）；
令y=0，得點(diǎn)A坐標(biāo)為（

3

，0），如圖所示；

（2）∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，1）；點(diǎn)A坐標(biāo)為（

3

，0）．
∴由勾股定理可得|AB|=2，
∵等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，∴AB=AC，
所以S_△ABC=

1

2

×2×2=2；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)
因?yàn)镾_△ABO=

3

2

，S_△APO=-

3

2

a，S_△BOP=

1

2

，
所以 S_△ABP=S_△ABO+S_△APO-S_△BOP=S_△ABC=2，
即

3

2

-

3

2

a-

1

2

=2，
解得a=

3-5 3

3

，
當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，用類似的方法可得：
以 S_△ABP=S_△POB+S_△APO-S_△AOB=S_△ABC=2，
∴

1

2

+

3

2

a-

3

2

=2，
解得：a=

3

+1．

點(diǎn)評：此題主要考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)求一次函數(shù)與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；會(huì)用坐標(biāo)表示線段；掌握用面積的和差表示不規(guī)則圖形的面積．