Question

如圖所示，一根長2.5米的木棍（AB），斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，此時OB的距離為0.7米，設木棍的中點為P．若木棍A端沿墻下滑，且B端沿地面向右滑行．
（1）如果木棍的頂端A沿墻下滑0.4米，那么木棍的底端B向外移動多少距離？
（2）請判斷木棍滑動的過程中，點P到點O的距離是否變化，并簡述理由．
（3）在木棍滑動的過程中，當滑動到什么位置時，△AOB的面積最大？簡述理由，并求出面積的最大值．

Answer 1

解：（1）在直角△ABC中，已知AB=2.5m，BO=0.7m，
則AO=m=2.4m，
∵AO=AC+OC，
∴OC=2m，
∵直角三角形CDO中，AB=CD，且CD為斜邊，
∴OD==1.5m，
∴據BD=OD-OB=1.5m-0.7m=0.8m；

（2）不變．
理由：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，因為斜邊AB不變，所以斜邊上的中線OP不變；

（3）當△AOB的斜邊上的高h等于中線OP時面積最大．
如圖，若h與OP不相等，則總有h＜OP，
故根據三角形面積公式，有h與OP相等時△AOB的面積最大，
此時，S_△AOB==×2.5×1.25=1.5625．
所以△AOB的最大面積為1.5625m²．
分析：（1）在直角三角形ABC中，已知AB，BC根據勾股定理即可求AO的長度，根據AO=AC+OC即可求得OC的長度，在直角三角形CDO中，已知AB=CD，CO即可求得OD的長度，根據BD=OD-OB即可求得BD的長度．
（2）木棍滑動的過程中，點P到點O的距離不會變化．根據在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半即可判斷；
（3）當△AOB的斜邊上的高h等于中線OP時，△AOB的面積最大，就可以求出．
點評：此題考查了勾股定理的應用，利用了在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半；同時理解△AOB的面積什么情況最大是解決本題的關鍵．