Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF=10cm，AC=14cm，動點E以2cm/s的速度從A點向F點運動，動點G以1cm/s的速度從C點向A點運動，當一個點到達終點時，另一個點隨之停止運動，設運動時間為t．
（1）求證：在運動過程中，不管t取何值，都有S△AED=2S△DGC ．
（2）當t取何值時，△DFE與△DMG全等．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，

∴DF=DM，

∵S△AED= AEDF，S△DGC= CGDM，

∴ = ，

∵點E以2cm/s的速度從A點向F點運動，動點G以1cm/s的速度從C點向A點運動，

∴ =2，

即 =2，

∴在運動過程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC

（2）解：設時間為t時，△DFE與△DMG全等，則EF=MG，

①當M在線段CG的延長線上時，

∵點E以2cm/s的速度從A點向F點運動，動點G以1cm/s的速度從C點向A點運動，

∴EF=AF﹣AE=10﹣2t，MG=AC﹣CG﹣AM=4﹣t，

即10﹣2t=4﹣t，

解得：t=6，

當t=6時，MG=﹣2，所以舍去；

②當M在線段CG上時，

∵點E以2cm/s的速度從A點向F點運動，動點G以1cm/s的速度從C點向A點運動，

∴EF=AF﹣AE=10﹣2t，MG=AM﹣（AC﹣CG）=t﹣4，

即10﹣2t=t﹣4，

解得：t= ，

綜上所述當t= 時，△DFE與△DMG全等

【解析】（1）由角平分線的性質可知DF=DM，所以△AED和△DEG的面積轉化為底AE和CG的比值，根據路程=速度×時間求出AE和CG的長度即可證明在運動過程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC ． （2）若△DFE與△DMG全等，則EF=MG，利用已知條件求出EF和MG的長度，建立方程解方程即可求出運動的時間．