Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，D是BC邊上一點，以DB為直徑的⊙O經過AB的中點E，交AD的延長線于點F，連結EF．

（1）求證：∠1=∠F；

（2）若sinB=，EF=，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）3．

【解析】

試題分析：（1）連接DE，由BD是⊙O的直徑，得到∠DEB=90°，由于E是AB的中點，得到DA=DB，根據等腰三角形的性質得到∠1=∠B等量代換即可得到結論；

（2）g根據等腰三角形的判定定理得到AE=EF=，推出AB=2AE=，在Rt△ABC中，根據勾股定理得到BC=8，設CD=x，則AD=BD=8﹣x，根據勾股定理列方程即可得到結論．

試題解析：（1）證明：連接DE，∵BD是⊙O的直徑，∴∠DEB=90°，∵E是AB的中點，∴DA=DB，∴∠1=∠B，∵∠B=∠F，∴∠1=∠F；

（2）∵∠1=∠F，∴AE=EF=，∴AB=2AE=，在Rt△ABC中，AC=ABsinB=4，∴BC==8，設CD=x，則AD=BD=8﹣x，∵，即，∴x=3，即CD=3．