Question

【題目】如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=，點D在BC延長線上，連接AD，過B作BE⊥AD，垂足為E，交AC于點F，連接CE.

（1）求證： CF=CD；

（2）求證： ；

（3）探究線段AE，BE，CE之間滿足的等量關系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）AE，BE，CE之間滿足的等量關系

【解析】試題分析：（1）由垂直的定義得到∠ACB=90°，根據全等三角形的判定定理ASA可證明△BCF≌△ACD，然后根據全等三角形的性質可證明；

（2）根據相似三角形的判定證得△BED∽△ACD，然后根據相似三角形的性質可證明；

（3）在BE上截取BG=AE，連接CG，然后根據三角形全等的判定可證明△GCE是等腰直角三角形，由此可得到結果.

試題解析：（1）證明：∵∠BCA=∠ACD = 90°

∴∠FBC+∠D=∠CAD +∠D = 90°

∴∠FBC =∠CAD

∵AC=BC

∴△BCF≌△ACD（ASA）

∴CF=CD

（2）證明：∵∠FBC =∠CAD ∠D=∠D

∴△BED∽△ACD

∴BD：AD=ED：CD

∴

（3）AE，BE，CE之間滿足的等量關系

理由：在BE上截取BG=AE，連接CG，

∵∠FBC =∠CAD BC=AC

∴△BCG≌△ACE

∴GC=EC 且∠BCG=∠ACE

∴∠GCE=∠ACD= 90°

∴△GCE為等腰直角三角形

∴GC=CE

∴