Question

【題目】某體育彩票經銷商計劃用4500元從省體彩中心購進彩票20捆，已知體彩中心有、、三種不同價格的彩票，進價分別是彩票每捆150元，彩票每捆200元，彩票每捆250元．

（1）若經銷商同時購進兩種不同型號的彩票20捆，剛好用去4500元，請你幫助設計進票方案；

（2）若銷售型彩票每捆獲手續費20元，型彩票每捆獲手續費30元，型彩票每捆獲手續費50元．在問題（1）設計的購進兩種彩票的方案中，為使銷售完時獲得的手續費最多，你選擇哪種進票方案？

（3）若經銷商準備用4500元同時購進、、三種彩票20捆，請你幫助經銷商設計進票方案．

Answer 1

【答案】（1）購進A種彩票5捆，C種彩票15捆或B種彩票與C種彩票各10捆；（2）A種彩票5捆，C種彩票15捆；（3）方案1：A種1捆，B種8捆，C種11捆；方案2：A種2捆，B種6捆，C種12捆；方案3：A種3捆，B種4捆，C種13捆；方案4：A種4捆，B種2捆，C種14捆．

【解析】

（1）因為彩票有A，B，C三種不同型號，而經銷商同時只購進兩種，所以要將A，B，C兩兩組合，分三種情況：A，B；A，C；B，C，每種情況都可以根據下面兩個相等關系列出方程，兩種不同型號的彩票捆數之和＝20，購買兩種不同型號的彩票錢數之和＝4500，然后根據實際含義即可確定他們的解；

（2）根據上一問分別求出每一種情況的手續費，然后進行比較即可得出結果；

（3）有兩個等量關系：A彩票扎數+B彩票扎數+C彩票扎數＝20，購買A彩票錢數+購買B彩票錢數+購買C彩票錢數＝4500；可設三個未知數，然后用含有同一個未知數的代數式去表示另外的兩個未知數，再根據三個未知數都是正整數，并結合實際意義即可求出結果．

解：（1）若設購進A種彩票x捆，B種彩票y捆，

根據題意得：，解得：，

∵x＜0，∴此種情況不合題意；

若設購進A種彩票x捆，C種彩票y捆，

根據題意得：，解得：，

若設購進B種彩票x捆，C種彩票y捆，

根據題意得：，解得：，

綜上所述，若經銷商同時購進兩種不同型號的彩票，共有兩種方案：即購進A種彩票5捆，C種彩票15捆或B種彩票與C種彩票各10捆；

（2）若購進A種彩票5捆，C種彩票15捆，銷售完后可獲手續費為：20×5+50×15＝850（元）；

若購進B種彩票與C種彩票各10捆，銷售完后可獲手續費為：30×10+50×10＝800（元）；

∴為使銷售完后獲得手續費最多，應選擇的方案為：A種彩票5捆，C種彩票15捆；

（3）設購進A種彩票m捆，B種彩票n捆，C種彩票h捆．

由題意得：，解得：，

∵m、n都是正整數，∴1≤m＜5，

∴m=1，2，3，4，

所以共有4種進票方案，具體如下：

方案1：A種1捆，B種8捆，C種11捆；

方案2：A種2捆，B種6捆，C種12捆；

方案3：A種3捆，B種4捆，C種13捆；

方案4：A種4捆，B種2捆，C種14捆．