Question

【題目】如圖，點D為△ABC的AB邊上的中點，點E為AD的中點，△ADC為正三角形，給出下列結論，①CB＝2CE，②tan∠B＝，③∠ECD＝∠DCB，④若AC＝2，點P是AB上一動點，點P到AC、BC邊的距離分別為d1，d2，則d12+d22的最小值是3．其中正確的結論是____(填寫正確結論的序號)．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

根據中點的性質得到AD＝BD，根據等邊三角形的性質得到AD＝CD，∠ADC=∠ACD=60°，CE⊥AB，∠DCE＝30°，根據等量代換有CD＝BD，根據等腰三角形的性質得到∠B＝∠DCB＝30°，即可判斷①②③，根據勾股定理可知d12+d22＝MN2＝CP2，根據垂線段最短，則當CP⊥AB時，d12+d22的值最小，即可判斷④.

∵D是AB中點

∴AD＝BD

∵△ACD是等邊三角形，E是AD中點

∴AD＝CD，∠ADC=∠ACD =60°，CE⊥AB，∠DCE＝30°

∴CD＝BD

∴∠B＝∠DCB＝30°，且∠DCE＝30°，CE⊥AB

∴∠ECD＝∠DCB，BC＝2CE，tan∠B＝

故①③正確，②錯誤

∵∠DCB＝30°，∠ACD＝60°

∴∠ACB＝90°

若AC＝2，點P是AB上一動點，點P到AC、BC邊的距離分別為d1，d2，

∴四邊形PMCN是矩形

∴MN＝CP

∵d12+d22＝MN2＝CP2

∴當CP為最小值，d12+d22的值最小

∴根據垂線段最短，則當CP⊥AB時，d12+d22的值最小

此時：∠CAB＝60°，AC＝2，CP⊥AB

∴CP＝,

∴d12+d22＝MN2＝CP2＝3

即d12+d22的最小值為3

故④正確

故答案為①③④