Question

【題目】感知：如圖①，在等邊三角形ABC中，點D、E分別在邊AC、AB上，若AE=CD，易知△ACE≌△CBD．

探究：若圖①中的點D、E分別在邊AC、BA的延長線上時，如圖②，△ACE與△CBD是否仍然全等？如果全等，請證明：如果不全等，請說明理由．

應用：若圖②中的等邊三角形ABC為等腰三角形，且AC=BC，點O是AC邊的垂直平分線與BC的交點，點D、E分別在AC、OA的延長線上，如圖③，若AE=CD，∠ACB=α，∠ADB=β，則∠ACE的大小為 （用含α和β的代數式表示）．

Answer 1

【答案】感知：證明見解析；探究：證明見解析；應用：α-β．

【解析】

試題分析：感知：由△ABC是等邊三角形，可得AC=CB，∠ACE=∠B=60°，又由BD=CE，即可證得△ACE≌△CBD；

探究：根據△ABC是等邊三角形，得到AC=CB，∠A=∠ACB=60°，由SAS證明△ACE≌△CBD．

應用：證明△ACE≌△CBD，得到∠AEC=∠CDB=β，根據外角的性質得到∠CAB=∠ACE+∠AEC，即可解答．

試題解析：感知：∵△ABC是等邊三角形，

∴AC=CB，∠CAE=∠B=60°，

在△ACE和△CBD中，

∴△ACE≌△CBD（SAS）．

探究：△ACE與△CBD是否仍然全等，

∵△ABC是等邊三角形，

∴AC=CB，∠A=∠ACB=60°，

∴∠EAC=∠DCB，

在△ACE和△CBD中，

∴△ACE≌△CBD．

應用：∵點O是AC邊的垂直平分線與BC的交點，

∴CO=AO，

∴∠ACB=∠CAO=α，

∵∠ACB+∠BCD=180°，∠EAC+∠CAO=180°，

∴∠EAC=∠DCB，

∵△ABC為等邊三角形，

∴AC=BC，

在△EAC和△DCB中，

∴△EAC≌△DCB，

∴∠AEC=∠CDB=β，

∵∠CAB=∠ACE+∠AEC，

∴∠ACE=∠CAB-∠AEC=α-β．