Question

【題目】問題提出

（1）如圖，是的弦，點是上的一點，在直線上方找一點，使得，畫出，并說明理由；

問題探究

（2）如圖，是的弦，直線與相切于點，點，是直線上異于點的任意一點，請在圖中畫出圖形，試判斷的大小關系；并說明理由；

問題解決

（3）如圖，有一個平面圖為五邊形ABCDE的展覽館，其中，，．展覽館保衛人員想在線段上選一點安裝監控裝置，用來監視邊，現只要使最大，就可以讓監控裝置的效果達到最佳，問在線段上是否存在點，使最大？若存在，請求出符合條件的的長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）∠AMB＞∠AM1B，理由見解析； （3）存在；

【解析】

（1）根據同弧所對的圓周角相等即可作圖求解；

（2）根據三角形的外角定理即可作圖求解；

（3）作經過點、且和相切的，切點為，由（2）可知此時最大，連接、，分別延長、交于點，證明四邊形是正方形，再求出，連接，交于點，由正方形的性質可得，，，再證明垂直平分線段，再根據圓的性質可得，連接，可得，則，設的半徑為，則，，在中，利用勾股定理得到又利用得到OG= ，故可得到方程，求出R，再求出此時DM的長即可．

解：（1）如圖：

在優弧上任意取一點，連接、，則．

理由：，

∴．

（2）如圖，交于點，連接，

∵是的外角，

∴，

∵

∴

（3）作經過點、且和相切的，切點為，由（2）可知此時最大，

連接、，分別延長、交于點

∵，

∴四邊形是矩形，

∵

∴四邊形是正方形。

∴，

∴，

∴．

連接，交于點，由正方形的性質可得，，

，

∵BF=CF,OB=OC

∴垂直平分線段，

∴圓心在線段上，

連接，則，則，

設的半徑為，則，，

在中，

∵

∴，

∴，

解得(不合題意，舍去)或，

∴，

∴，

∴在線段上存在點，使最大，符合條件的的長為．