Question

已知頂點為A(1,5)的拋物線經過點B(5,1).
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖（1）,設C,D分別是軸、軸上的兩個動點，求四邊形ABCD周長的最小值；
（3）在（2）中，當四邊形ABCD的周長最小時，作直線CD.設點P()()是直線上的一個動點，Q是OP的中點，以PQ為斜邊按圖（2）所示構造等腰直角三角形PRQ.
①當△PBR與直線CD有公共點時,求的取值范圍；
②在①的條件下，記△PBR與△COD的公共部分的面積為S.求S關于的函數關系式，并求S的最大值。

Answer 1

解：（1）∵拋物線的頂點為A（1，5），

∴設拋物線的解析式為，
將點B（5，1）代入，得，
解得，
∴
（2）作A關于y軸的對稱點，作B關于x軸的對稱點，顯然，
如圖(5.1)，連結分別交x軸、y軸于C、D兩點，
∵，
∴此時四邊形ABCD的周長最小，最小值就是。
而，
∴
四邊形ABCD周長的的最小值為。
（3）①點B關于x軸的對稱點B′（），點A關于y軸的對稱點A′（﹣1，5），連接A′B′，與x軸，y軸交于C，D點，
∴CD的解析式為：，
聯立，
得：
∵點P在上，點Q是OP的中點，
∴要使等腰直角三角形與直線CD有公共點，則．
故的取值范圍是：．
②如圖：

點E（2，2），當EP=EQ時，，得：，
當時，

當時，．
當時，
當時，．
故的最大值為：．解析:
略