Question

【題目】如圖，已知BC是⊙O的直徑，點A，D在⊙O上，∠B＝2∠CAD，在BC的延長線上有一點P，使得∠P＝∠ACB，弦AD交直徑BC于點E．

（1）求證：DP與⊙O相切；

（2）判斷△DCE的形狀，并證明你的結論；

（3）若CE＝2，DE＝，求線段BC的長度．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）△DCE是等腰三角形，證明見解析；（3）10.

【解析】

（1）連接OD，根據圓周角定理得到∠DOP=2∠DAC，等量代換得到∠COD=∠B，根據圓周角定理得到∠BAC=90°，根據切線的判定定理即可得到結論；

（2）根據圓周角定理和三角形的內角和即可得到結論；

（3）根據相似三角形的性質得到，于是得到OC==5，即可得到結論．

（1）連接OD，

∴∠DOP＝2∠DAC，

∵∠B＝2∠CAD，

∴∠COD＝∠B，

∵∠P＝∠ACB，

∴∠ODP＝∠BAC，

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BAC＝90°，

∴∠ODP＝90°，

∴DP與⊙O相切；

（2）△DCE是等腰三角形，

理由：∵∠B＝∠COD，∠BOD＝180°﹣∠COD，∠BAD+∠AEB＝180°﹣∠B，

∴∠BOD＝∠BAD+∠AEB，

∵∠BAD＝∠BOD，

∴∠AEB＝∠BOD，

∴∠BAD＝∠AEB，

∵∠DCE＝∠BAE，∠CED＝∠AEB，

∴∠CED＝∠DCE，

∴△DCE是等腰三角形；

（3）∵OC＝OD，

∴∠OCD＝∠ODC，

∵DE＝DC，

∴∠OCD＝∠CED，

∴∠DEC＝∠DCE＝∠OCD＝∠ODC，

∴△DCE∽△OCD，

∴，

∵CE＝2，DE＝，

∴CD＝DE＝，

∴OC＝＝5，

∴BC＝2OC＝10．