Question

【題目】△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，過AB上一點D作DE‖BC，DF‖AC分別交AC、BC于點E和F

（1）如圖1，證明：△ADE∽△DBF；

（2）如圖1，若四邊形DECF是菱形，求DE的長；

（3）如圖2，若以D、E、F為頂點的三角形與△BDF相似，求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）DE的長為；（3）AD的長為或．

【解析】

（1）根據平行線的性質得∠ADE＝∠B，∠A＝∠BDF，則根據相似三角形的判定方法可判斷△ADE∽△DBF；

（2）設DE＝x，利用菱形的性質得DE＝DF＝CF＝CE＝x，則AE＝5﹣x，BF＝6﹣x，根據相似三角形的性質得＝，即＝，然后利用相似比的性質求出x即可；

（3）設AD＝AE＝t，則CE＝5﹣t，先判斷四邊形DECF為平行四邊形，所以DF＝CE＝5﹣t，DE＝CF，利用平行線分線段成比例的性質可表示出DE＝t，則CF＝t，BF＝6﹣t，由于∠EDF＝∠BFD，根據相似三角形的判定方法，當＝，△EDF∽△BFD，即BF＝DE，6﹣t＝t；當＝，△EDF∽△DFB，即＝，然后利用比例性質分別求出t即可．

（1）證明：∵DE‖BC，DF‖AC，

∴∠ADE＝∠B，∠A＝∠BDF，

∴△ADE∽△DBF；

（2）解：設DE＝x，

∵四邊形DECF是菱形，

∴DE＝DF＝CF＝CE＝x，

∴AE＝5﹣x，BF＝6﹣x，

∵△ADE∽△DBF，

∴＝，即＝，解得x＝，

即DE的長為；

（3）解：設AD＝AE＝t，則CE＝5﹣t，

∵DE‖BC，DF‖AC，

∴四邊形DECF為平行四邊形，

∴DF＝CE＝5﹣t，DE＝CF，

∵DE∥BC，

∵＝，即＝，則DE＝t，

∴CF＝t，

∴BF＝6﹣t，

∵∠EDF＝∠BFD，

∴當＝，△EDF∽△BFD，即BF＝DE，6﹣t＝t，解得t＝；

當＝，△EDF∽△DFB，即＝，解得t＝5（舍去）或t＝，

綜上所述，AD的長為或．