Question

【題目】如圖，是的直徑，，點是上方圓上的一個動點，連接，作的平分線，交于點，過點作交的延長線于點．

（1）求證：是的切線；

（2）當_______時，四邊形是平行四邊形；

（3）連接交于點，連接，當 _______時，與相似．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2；（3）2或．

【解析】

（1）易證∠PAC=∠ACO，從而可知AD∥OC，由于CD⊥AP，所以CD⊥OC，所以CD是⊙O的切線；

（2）根據一組對邊平行且相等證得四邊形是平行四邊形；

（3）當△CDP∽△AMO時，則∠CDP=∠AMO=90°，利用等腰三角形AOC的三線合一可得∠AOP=∠COP，進而可證得AP=AO=2，當△CDP∽△AOM時，則∠CDP=∠AOP=90°，利用勾股定理可求得AP的長即可．

（1）證明：如圖，連接.

平分，

，

，

，

，

，

，

，

是的切線.

（2）當AP=2時，四邊形是平行四邊形，

理由如下：∵AP=2，OC=2，

∴AP=OC，

又∵AP∥OC，

∴四邊形是平行四邊形；

（3）如圖，當△CDP∽△AMO時，則∠CDP=∠AMO=90°，

∴OP⊥AC，

又∵OA=OC，

∴∠AOP=∠COP，

∵AP∥OC，

∴∠APO=∠COP，

∴∠AOP=∠APO，

∴AP=AO=2，

當△CDP∽△AOM時，則∠CDP=∠AOP=90°，

∵AO=PO=2，

∴在Rt△AOP中，AP=，

∴AP=2或