Question

如圖，點O是等邊△ABC內一點，∠AOB=110°，∠BOC=α，將△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，連接OD．
（1）△COD是什么三角形？說明理由；
（2）若AO=n²+1，AD=n²-1，OD=2n（n為大于1的整數），求α的度數；
（3）當α為多少度時，△AOD是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）根據旋轉的性質可得CO=CD，∠OCD=60°，根據有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形解答；
（2）利用勾股定理逆定理判定△AOD是直角三角形，并且∠ADO=90°，從而求出∠ADC=150°，再根據旋轉變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小可得α=∠ADC；
（3）根據周角為360°用α表示出∠AOD，再根據旋轉的性質表示出∠ADO，然后利用三角形的內角和定理表示出∠DAO，再分∠AOD=∠ADO，∠AOD=∠DAO，∠ADO=∠DAO三種情況討論求解．

解答：解：（1）△COD是等邊三角形．
理由如下：∵△BOC繞點C按順時針方向旋轉60°得△ADC，
∴CO=CD，∠OCD=60°，
∴△COD是等邊三角形；

（2）∵AD²+OD²=（n²-1）²+（2n）²
=n⁴-2n²+1+4n²
=n⁴+2n²+1
=（n²+1）²
=AO²，
∴△AOD是直角三角形，且∠ADO=90°，
∵△COD是等邊三角形，
∴∠CDO=60°，
∴∠ADC=∠ADO+∠CDO=90°+60°=150°，
根據旋轉的性質，α=∠ADC=150；

（3）∵α=∠ADC，∠CDO=60°，
∴∠ADO=α-60°，
又∵∠AOD=360°-110°-α-60°=190°-α，
∴∠DAO=180°-（190°-α）-（α-60°）=180°-190°+α-α+60°=50°，
∵△AOD是等腰三角形，
∴①∠AOD=∠ADO時，190°-α=α-60°，
解得α=125°，
②∠AOD=∠DAO時，190°-α=50°，
解得α=140°，
③∠ADO=∠DAO時，α-60°=50°，
解得α=110°，
綜上所述，α為125°或140°或110°時，△AOD是等腰三角形．

點評：本題考查了等邊三角形的判定與性質，旋轉變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小的性質，勾股定理逆定理，等腰三角形的性質，（3）用α表示出△AOD的各個內角是解題的關鍵，注意要分情況討論．