Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，Rt△ABC的直角邊AC在x軸上，∠ACB=90°，AC=1，反比例函數y=（k＞0）的圖象經過BC邊的中點D（3，1）．

（1）求這個反比例函數的表達式；

（2）若△ABC與△EFG成中心對稱，且△EFG的邊FG在y軸的正半軸上，點E在這個函數的圖象上．

①求OF的長；

②連接AF，BE，證明四邊形ABEF是正方形．

Answer 1

【答案】（1）反比例函數表達式為y=； （2）①OF =1； ②證明見解析.

【解析】

試題（1）由D點坐標可求得k的值，可求得反比例函數的表達式；

（2）①由中心對稱的性質可知△ABC≌△EFG，由D點坐標可求得B點坐標，從而可求得BC和AC的長，由全等三角形的性質可求得GE和GF，則可求得E點坐標，從而可求得OF的長；②由條件可證得△AOF≌△FGE，則可證得AF=EF=AB，且∠EFA=∠FAB=90°，則可證得四邊形ABEF為正方形．

試題解析：

（1）∵反比例函數（k＞0）的圖象經過點D（3，1），∴k=3×1=3，∴反比例函數表達式為；

（2）①∵D為BC的中點，∴BC=2，∵△ABC與△EFG成中心對稱，∴△ABC≌△EFG，∴GF=BC=2，GE=AC=1，∵點E在反比例函數的圖象上，∴E（1，3），即OG=3，∴OF=OG﹣GF=1；

②如圖，連接AF、BE，∵AC=1，OC=3，∴OA=GF=2，在△AOF和△FGE中，∵AO=FG，∠AOF=∠FGE，OF=GE，∴△AOF≌△FGE（SAS），∴∠GFE=∠FAO=∠ABC，∴∠GFE+∠AFO=∠FAO+∠BAC=90°，∴EF∥AB，且EF=AB，∴四邊形ABEF為平行四邊形，∴AF=EF，∴四邊形ABEF為菱形，∵AF⊥EF，∴四邊形ABEF為正方形．