Question

【題目】直線AB：分別于x，y軸交于A，B兩點，過點B的直線交x軸正半軸于點C，且OB：OC=3：1.

（1）直接寫出點A、B、C的坐標；

（2）在線段OB上存在點P，使點P到B，C的距離相等，求出點P的坐標；

（3）在x軸上方存在點D，使得以點A，B，D為頂點的三角形與△ABC全等，求出點D的坐標.

Answer 1

【答案】（1）A（，0）、B（0，3）、C（1，0）；（2）P（0，）；（3）（-4，3）或（-3，4）

【解析】

（1）分別令y=0,x=0求得點A、B的坐標，OB的長度，結合OB：OC=3：1可求出點C的坐標；

（2）設OP=x，則PB=PC=3-x，在Rt△POC中，利用勾股定理可得出關于x的一元一次方程，解方程即可；
（3）畫出圖形，分△BAD≌△ABC和△ABD≌△ABC兩種情況考慮：①當△BAD≌△ABC時，由OA=OB可得出∠BAC=45°，由全等三角形的性質可得出∠ABD=∠BAC=45°、BD=AC=4，利用內錯角相等兩直線平行可得出BD∥AC，結合BD的長度即可得出點D的坐標；②當△ABD≌△ABC時，有∠BAD=∠BAC=45°、AD=AC=4，由∠DAC=∠BAD+∠BAC可得出∠DAC=90°，結合BD的長度可得出點D的坐標；

（1）當y=0時，則x+3=0,x=-3，即點A（－3，0）；

當x=0時，則y=3,即點B（0，3）；

所以OB=3,

又∵OB：OC=3：1，

∴OC＝1，

又∵過點B的直線交x軸正半軸于點C，

∴點C（1，0），

（2）如圖所示：

設OP=x，則PB=PC=3-x．
在Rt△POC中，∠POC=90°，
∴OP2+OC2=PC2，即x2+12=（3-x）2，

解得x=,

∴點P（0，），

（3）如圖所示：分△BAD≌△ABC和△ABD≌△ABC兩種情況考慮

①當△BAD≌△ABC時，

∵OA=OB=3，
∴∠BAC=45°．
∵△BAD≌△ABC，
∴∠ABD=∠BAC=45°，BD=AC=4，
∴BD∥AC，
∴點D的坐標為（-4，3）；
②當△ABD≌△ABC時，∠BAD=∠BAC=45°，AD=AC=4，
∴∠DAC=90°，
∴點D的坐標為（-3，4）．
綜上所述，點D的坐標為（-4，3）或（-3，4）．