Question

如圖，為正方形邊上任一點，于點，在 的延長線上取點，使，連接，.

（1）求證：；
（2）的平分線交于點，連接，求證：；

Answer 1

（1）由BG⊥AP，AG=GE可得BG垂直平分線段AE，根據垂直平分線的性質可得AB=BE，根據正方形的性質可得AB=BC，即可證得結論；
（2）連接CN，延長BN交CE于H，過點D作DM⊥AN于M，可證得Rt△ADM≌Rt△ABG，即得DM=AG，根據角平分線的性質可得CH=HE，即可證得△BCN≌△BEN，從而可知△CEN是等腰△，延長AE交DC延長線于F，可得∠BAG=∠BEG=∠CFE=∠BCN，則可證得Rt△DMN，Rt△BGN都是等腰直角三角形，問題得證.

試題分析：（1）∵BG⊥AP，AG=GE，
∴BG垂直平分線段AE，
∴AB=BE，
在正方形ABCD中，AB=BC，
∴BE=BC；
（2）連接CN，延長BN交CE于H，過點D作DM⊥AN于M，

顯然Rt△ADM≌Rt△ABG，
∴DM=AG，
∵BN平分∠CBE，
∴CH=HE，
∵∠CBN=∠EBN，BE=BC，BN=BN，
∴△BCN≌△BEN，
∴CN=NE，即△CEN是等腰△，
延長AE交DC延長線于F，則有∠BAG=∠BEG=∠CFE=∠BCN，
∴A，B，C，D，N五點共圓，
∴∠AND=∠BNG=45°[AB弦所對圓周角=45°]
∴Rt△DMN，Rt△BGN都是等腰直角三角形，
∴DM=AG=DN，GN=BN，AG+GN=AN=BN+DN.
點評：本題綜合性較強，難度較大，準確作出輔助線，綜合運用各定理和性質并分析題目用已知條件和所要證明的結論之間的關系是解本題的關鍵．