Question

【題目】閱讀下面材料：

在學習《圓》這一章時，老師給同學們布置了一道尺規作圖題：

尺規作圖：如圖，過圓外一點作圓的切線.

已知：P為⊙O外一點.

求作：經過點P的⊙O的切線.

小敏的作法如下：如圖，

(1)連接OP，作線段OP的垂直平分線MN交OP于點C.

(2)以點C為圓心，CO的長為半徑作圓，交⊙O于A，B兩點.

(3)作直線PA，PB.

所以直線PA，PB就是所求作的切線.

老師認為小敏的作法正確.

請回答：

(1)連接OA，OB后，可證∠OAP＝∠OBP＝90°，其依據是_________.

(2)如果⊙O的半徑等于3，點P到切點的距離為4，求點A與點B之間的距離.

Answer 1

【答案】（1）直徑所對的圓周角是直角；（2）

【解析】

（1）直接根據圓周角定理即可得出∠OAP=∠OBP=90°，由切線的性質即可得出結論；

（2）連接OA,AB交OP于點E,根據切線的性質，可得∠OAP =90°，AE⊥OP,根據勾股定理求出OP,再根據等面積法求出AE,即可求出AB.

（1）解：連接OA，OB后，可證∠OAP=∠OBP=90°，其依據是：直徑所對的圓周角是直角；

由此可證明直線PA，PB都是⊙O的切線，其依據是：經過半徑外端，且與半徑垂直的直線是圓的切線．

故答案為：直徑所對的圓周角是直角；經過半徑外端，且與半徑垂直的直線是圓的切線．

（2）連接OA,AB交OP于點E,

因為PA是⊙O的切線，

所以∠OAP =90°，

在直角三角形OAP中，由勾股定理可得:OP=5,

因為AE⊥OP,

所以 ,

所以AE=,

所以AB=.