Question

【題目】在平面內，給定不在同一直線上的點A，B，C，如圖所示.點O到點A，B，C的距離均等于a(a為常數)，到點O的距離等于a的所有點組成圖形G，∠ABC的平分線交圖形G于點D，連接AD，CD.

(1)求證：AD=CD.

(2)過點D作DE⊥BA，垂足為E，作DF⊥BC，垂足為F，延長DF交圖形G于點M，連接CM.若AD=CM，判斷直線DE與圖形G的位置關系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）相切

【解析】

（1）利用圓的定義得到圖形G為△ABC的外接圓⊙O，由∠ABD=∠CBD得到 ，從而圓周角、弧、弦的關系得到AD=CD；

（2）如圖，證明CD=CM，則可得到BC垂直平分DM，利用垂徑定理得到BC為直徑，再證明OD⊥DE，從而可判斷DE為⊙O的切線，于是得到直線DE與圖形G相切．

（1）證明：∵到點O的距離等于a的所有點組成圖形G，

∴圖形G為△ABC的外接圓⊙O，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，

∴ ，

∴AD=CD；

（2）如圖，

∵AD=CM，AD=CD，

∴CD=CM，

∵DM⊥BC，

∴BC垂直平分DM，

∴BC為直徑，

∴∠BAC=90°，

∵ ，

∴OD⊥AC，

∴OD∥AB，

∵DE⊥AB，

∴OD⊥DE，

∴DE為⊙O的切線，

∴直線DE與圖形G相切．