Question

如圖，菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，我們把菱形ABCD的對稱中心稱作菱形的中心．菱形ABCD在直線l上向右作無滑動的翻滾，每繞著一個頂點旋轉60°叫一次操作，則經過1次這樣的操作菱形中心O所經過的路徑長為______；經過18次這樣的操作菱形中心O所經過的路徑總長為______；經過3n（n為正整數）次這樣的操作菱形中心O所經過的路徑總長為______．（結果都保留π）

Answer 1

∵菱形ABCD中，AB=2，∠C=60°，
∴△ABD是等邊三角形，
BO=DO=1，
AO=

AD2-DO2

=

3

，
第一次旋轉的弧長=

60π× 3

180

=

3

3

π，
∵第一、二次旋轉的弧長和=

60π× 3

180

+

60π× 3

180

=

3

3

π+

3

3

π=

2 3

3

π，
第三次旋轉的弧長為：

60π×1

180

=

π

3

∵18÷3=6，
故中心O所經過的路徑總長=6（

2 3

3

π+

π

3

）=（4

3

+2）π，
故經過3n（n為正整數）次這樣的操作菱形中心O所經過的路徑總長為：n×（

2 3

3

π+

π

3

）=

2 3 +1

3

nπ．
故答案為：

3

3

π，（4

3

+2）π，

2 3 +1

3

nπ．