Question

如圖，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC（AD＜BC），∠B=90°，AB=AD+BC．點E是CD的中點，點F是AB上的點，∠ADF=45°，FE=a，梯形ABCD的面積為m．
（1）求證：BF=BC；
（2）求△DEF的面積（用含a、m的代數式表示）

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是直角梯形，
∴∠A=90°，
∵∠ADF=45°，
∴∠AFD=45°，
∴AD=AF，
∵AB=AF+BF，AB=AD+BC，
∴BF=BC；

（2）連接FC．
設AD=AF=x，BC=BF=y．
連接CF，作DH⊥BC于H，易證矩形ABHD、直角三角形CDF，
又∵E是CD中點，
∴CD=2EF=2a，
由勾股定理得x²+y²=2a²…①，
有直角梯形的面積公式可得：（x+y）²=2m…②
②-①，得xy=m-a²
∵S_△DFC=S_梯形ABCD-S_△AFD-S_△BFC=

1

2

（x+y）²-

1

2

x²-

1

2

y²=xy．
∴S_△DEF=

1

2

S_△DFC=

1

2

m-

1

2

a²．