Question

已知AB∥CD，線段EF分別與AB、CD相交于點E、F．

（1）如圖①，當∠A=25°，∠APC=70°時，求∠C的度數；
（2）如圖②，當點P在線段EF上運動時（不包括E、F兩點），∠A、∠APC與∠C之間有什么確定的相等關系？試證明你的結論；
（3）如圖③，當點P在線段FE的延長線上運動時，（2）中的結論還成立嗎？如果成立，說明理由；如果不成立，試探究它們之間新的相等關系并證明．

Answer 1

（1）過點P作PQ∥AB，
∴∠APQ=∠A=25°．
∴∠QPC=∠APC-∠APQ=45°．
∵AB∥CD，PQ∥AB，
∴CD∥PQ．
∴∠C=∠QPC=45°．

（2）∠C=∠APC-∠A．
證明如下：過點P作PQ∥AB．
∴∠APQ=∠A．
∴∠QPC=∠APC-∠APQ=∠APC-∠A．
∵AB∥CD，PQ∥AB，
∴CD∥PQ．
∴∠C=∠QPC．
∴∠C=∠APC-∠A．

（3）不成立，新的相等關系為∠C=∠APC+∠A．
證明：設AB與CP相交于Q，則∠PQB=∠APC+∠A．
∵AB∥CD，
∴∠C=∠PQB，
∴∠C=∠APC+∠A．