Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標為Q（2，﹣1），且與y軸交于點C（0，3），與x軸交于A，B兩點（點A在點B的右側），點P是該拋物線上的一動點，從點C沿拋物線向點A運動（點P與A不重合），過點P作PD∥y軸，交AC于點D．

（1）求該拋物線的函數關系式；

（2）當△ADP是直角三角形時，求點P的坐標；

（3）在題（2）的結論下，若點E在x軸上，點F在拋物線上，問是否存在以A、P、E、F為頂點的平行四邊形？若存在，求點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=x2﹣4x+3；(2) P1（1，0），P2（2，﹣1）；(3) F1（2﹣，1），F2（2+，1）．

【解析】試題分析：（1）已知了拋物線的頂點坐標，可將拋物線的解析式設為頂點式，然后將函數圖象經過的C點坐標代入上式中，即可求出拋物線的解析式；
（2）由于PD∥y軸，所以∠ADP≠90°，若△ADP是直角三角形，可考慮兩種情況：
①以點P為直角頂點，此時AP⊥DP，此時P點位于x軸上（即與B點重合），由此可求出P點的坐標；
②以點A為直角頂點，易知OA=OC，則∠OAC=45°，所以OA平分∠CAP，那么此時D、P關于x軸對稱，可求出直線AC的解析式，然后設D、P的橫坐標，根據拋物線和直線AC的解析式表示出D、P的縱坐標，由于兩點關于x軸對稱，則縱坐標互為相反數，可據此求出P點的坐標；
（3）很顯然當P、B重合時，不能構成以A、P、E、F為頂點的四邊形，因為點P、F都在拋物線上，且點P為拋物線的頂點，所以PF與x軸不平行，所以只有（2）②的一種情況符合題意，由②知此時P、Q重合；假設存在符合條件的平行四邊形，那么根據平行四邊形的性質知：P、F的縱坐標互為相反數，可據此求出F點的縱坐標，代入拋物線的解析式中即可求出F點的坐標．

試題解析：（1）∵拋物線的頂點為Q（2，﹣1），

∴設拋物線的解析式為y=a（x﹣2）2﹣1，

將C（0，3）代入上式，得：

3=a（0﹣2）2﹣1，a=1；

∴y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3；

（2）分兩種情況：

①當點P1為直角頂點時，點P1與點B重合；

令y=0，得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3；

∵點A在點B的右邊，

∴B（1，0），A（3，0）；

∴P1（1，0）；

②當點A為△AP2D2的直角頂點時；

∵OA=OC，∠AOC=90°，

∴∠OAD2=45°；

當∠D2AP2=90°時，∠OAP2=45°，

∴AO平分∠D2AP2；

又∵P2D2∥y軸，

∴P2D2⊥AO，

∴P2、D2關于x軸對稱；

設直線AC的函數關系式為y=kx+b（k≠0）．

將A（3，0），C（0，3）代入上式得：

，

解得；

∴y=﹣x+3；

設D2（x，﹣x+3），P2（x，x2﹣4x+3），

則有：（﹣x+3）+（x2﹣4x+3）=0，

即x2﹣5x+6=0；

解得x1=2，x2=3（舍去）；

∴當x=2時，y=x2﹣4x+3=22﹣4×2+3=﹣1；

∴P2的坐標為P2（2，﹣1）（即為拋物線頂點）．

∴P點坐標為P1（1，0），P2（2，﹣1）；

（3）由（2）知，當P點的坐標為P1（1，0）時，不能構成平行四邊形；

當點P的坐標為P2（2，﹣1）（即頂點Q）時，

平移直線AP交x軸于點E，交拋物線于F；

∵P（2，﹣1），

∴可設F（x，1）；

∴x2﹣4x+3=1，

解得x1=2﹣，x2=2+；

∴符合條件的F點有兩個，

即F1（2﹣，1），F2（2+，1）．