Question

如圖，已知射線DE與x軸和y軸分別交于點D（3，0）和點E（0，4）．動點C從點M（5，0）出發，以1個單位長度/秒的速度沿x軸向左作勻速運動，設運動時間為t秒，以點C為圓心、

1

2

t個單位長度為半徑的⊙C與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側）．
（1）請用含t的代數式分別表示出點A、B、C的坐標；
（2）①當⊙C恰好經過D點時，求t的值；
②當⊙C與射線DE相切時，求t的值；
（3）直接寫出當⊙C與射線DE有公共點時t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據CM=t，CO-AC=OM-CM-AC=5-t-

1

2

t=5-

3

2

t，進而得出A，B，C點坐標即可；
（2）①當⊙C恰好經過D點時，點A或點B與D重合，進而得出等式方程求出即可；
②由圖可知，當點C在點D左側時，⊙C才能與射線DE相切，過點C作CF⊥射線DE，垂足為F，得△CDF∽△EDO，求出t的值即可；
（3）當點A到達點D時，所用的時間是t的最小值，此時DC=OC-OD=5-t-3=

1

2

t，得到t≥

4

3

，當圓C在點D左側且與ED相切時，為t的最大值，即可得出t的取值范圍．

解答：解：（1）根據點C從M點向左移動，
則CM=t，CO-AC=OM-CM-AC=5-t-

1

2

t=5-

3

2

t，
BO=5-

3

2

t+t=5-

1

2

t，
故A(5-

3

2

t，0)、B(5-

1

2

t，0)、C（5-t，0）．

（2）①當⊙C恰好經過D點時，點A或點B與D重合，
∴5-

3

2

t=3或5-

1

2

t=3，解得t=

4

3

或t=4，
∴當⊙C恰好經過D點時t的值為

4

3

或4．
②由圖可知，當點C在點D左側時，⊙C才能與射線DE相切，過點C作CF⊥射線DE，垂足為F，
則由∠CDF=∠EDO，得△CDF∽△EDO，
則

CF

4

=

3-(5-t)

5

．解得CF=

4t-8

5

．
∵⊙C與射線DE相切，∴CF=

1

2

t，即

4t-8

5

=

1

2

t，解得t=

16

3

．
∴當⊙C與射線DE相切時，t的值為

16

3

；

（3）當⊙C的圓心C由點M（5，0）向左運動，使點A到點D并隨⊙C繼續向左運動時，
有5-

3

2

t≤3，即t≥

4

3

．
利用（2）中CF=

4t-8

5

，
由CF≤

1

2

t，即

4t-8

5

≤

1

2

t，解得t≤

16

3

．
∴當⊙C與射線DE有公共點時，t的取值范圍為

4

3

≤t≤

16

3

．

點評：本題為代數與幾何有一定難度的綜合題，它綜合考查了用變量t表示點的坐標，直線（射線）與圓的位置關系，相似三角形和方程不等式等方面的知識．重點考查學生是否認真審題，挖掘出題中的隱含條件，綜合運用數學知識解決實際問題的能力，以及運用轉化的思想，方程的思想，數形結合的思想和分類討論的思想解決實際問題的能力．