Question

如圖，已知射線DE與x軸和y軸分別交于點D（3，0）和點E（0，4）．動點C從點M（5，0）出發，以1個單位長度/秒的速度沿x軸向左作勻速運動，與此同時，動點P從點D出發，也以1個單位長度/秒的速度沿射線DE的方向作勻速運動，設運動時間為t秒，
（1）請用含t的代數式分別表示出點C與點P的坐標；
（2）以點C為中心，t個單位長度為邊長的正方形（兩邊與y軸平行）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），連接PA、PB．
①當正方形與射線DE有公共點時，求t的取值范圍；
②當△PAB為等腰三角形時，求t的值．

Answer 1

分析：（1）根據題意，得t秒時，點C的橫坐標為5-t，縱坐標為0；由于動點P從點D出發，也以1個單位長度/秒的速度沿射線DE的方向作勻速運動．
（2）①當點A到達點D時，所用的時間是t的最小值，此時DC=OC-OD=5-t-3=

1

2

t，得到t≥

4

3

；當正方形在點D左側且右上邊頂點交于DE時，為t的最大值，如圖，易得Rt△CDF∽Rt△EDO，有

CF

4

=

3-(5-t)

5

，求解得到t的最大值．
②當△PAB為等腰三角形時，有三種情況：PA=AB，PA=PB，PB=AB．根據勾股定理，求得每種情況的t的值．

解答：解：（1）如圖1，過點P作PQ⊥x軸于點Q，
當t秒時，有PD=t，DE=5，OE=4，OD=3，
則PQ：EO=DQ：OD=PD：ED，
∴PQ=

4

5

t，DQ=

3

5

t．
∴C（5-t，0），P（3-

3

5

t，

4

5

t）．

（2）
①當正方形中心C由點M（5，0）向左運動，使點A到點D并隨正方形繼續向左運動時，
有DC=OC-OD=5-t-3=

1

2

t，
即5-

3

2

t≤3，
解得：t≥

4

3

．
當點C在點D左側時，如圖2，過點C作CF⊥射線DE，垂足為F，
則由∠CDF=∠EDO，
得△CDF∽△EDO，
則

CF

4

=

3-(5-t)

5

，
解得CF=

4t-8

5

．

由圖3可得出：CF＜OQ=

2

2

t，
即

4t-8

5

＜

2

2

t，
解得t＜

64+40 2

7

．
∴當⊙C與射線DE有公共點時，
t的取值范圍為

4

3

≤t＜

64+40 2

7

．

②如圖4，當PA=AB時，過P作PQ⊥x軸，垂足為Q．
有PA²=PQ²+AQ²=

16

25

t ²+（5-

3

2

t-3+

3

5

t）²．
則

29

20

t²-

18

5

t+4=t²，
即9t²-72t+80=0，
解得t₁=

4

3

，t₂=

20

3

．

如圖5，當PA=PB時有PC⊥AB，
則5-t=3-

3

5

t，
解得t₃=5；

如圖6，當PB=AB時，有
PB ²=PQ ²+BQ ²=

16

25

t²+（5-

1

2

t-3+

3

5

t）²，
則

13

20

t²+

2

5

t+4=t²，
即7t²-8t-80=0，
解得t₄=4，t₅=-

20

7

（不合題意，舍去），
故當△PAB是等腰三角形時，t=

4

3

，或t=4，或t=5，或t=

20

3

，
又因為C是從M點向左運動的，
故t=

4

3

或t=4或t=5或t=

20

3

，

點評：此題主要考查了相似三角形和方程不等式、正方形等方面的知識．重點考查學生是否認真審題，挖掘出題中的隱含條件，綜合運用數學知識解決實際問題的能力，以及運用轉化的思想，方程的思想，數形結合的思想和分類討論的思想解決實際問題的能力．