Question

如圖，已知射線DE與x軸和y軸分別交于點D（3，0）和點E（0，4）．動點C從點M（5，0）出發，以1個單位長度/秒的速度沿x軸向左作勻速運動，與此同時，動點P從點D出發，也以1個單位長度/秒的速度沿射線DE的方向作勻速運動．設運動時間為t秒．
（1）請用含t的代數式分別表示出點C與點P的坐標；
（2）以點C為圓心、

1

2

t個單位長度為半徑的⊙C與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），連接PA、PB．
①當⊙C與射線DE有公共點時，求t的取值范圍；
②當△PAB為等腰三角形時，求t的值．

Answer 1

分析：（1）根據題意，得t秒時，點C的橫坐標為5-t，縱坐標為0；過點P作PQ⊥x軸于點Q，根據相似三角形對應邊成比例列出比例式求出PQ、DQ再求出OQ，從而得解；
（2）①當點A到達點D時，所用的時間是t的最小值，此時DC=OC-OD=5-t-3=

1

2

t，得到t≥

4

3

；
當圓C在點D左側且與ED相切時，為t的最大值．
如圖，易得Rt△CDF∽Rt△EDO，有

CF

4

=

3-(5-t)

5

，求解得到t的最大值．
②當△PAB為等腰三角形時，有三種情況：PA=AB，PA=PB，PB=AB．根據勾股定理，求得每種情況的t的值．

解答：解：（1）如圖，t秒時，有PD=t，DE=5，OE=4，OD=3，
則PQ：EO=DQ：OD=PD：ED，
∴PQ=

4

5

t，DQ=

3

5

t．
∴C（5-t，0），P(3-

3

5

t，

4

5

t)．

（2）
①當⊙C的圓心C由點M（5，0）向左運動，使點A到點D并隨⊙C繼續向左運動時，
有5-

3

2

t≤3，即t≥

4

3

．
當點C在點D左側時，過點C作CF⊥射線DE，垂足為F，
則由∠CDF=∠EDO，
得△CDF∽△EDO，
則

CF

4

=

3-(5-t)

5

，
解得CF=

4t-8

5

．
由CF≤

1

2

t，即

4t-8

5

≤

1

2

t，解得t≤

16

3

．
∴當⊙C與射線DE有公共點時，t的取值范圍為

4

3

≤t≤

16

3

．

②當PA=AB時，過P作PQ⊥x軸，垂足為Q．
有PA²=PQ²+AQ²=

16

25

t2+(5-

3

2

t-3+

3

5

t)2．
∴

29

20

t2-

18

5

t+4=t2，
即9t²-72t+80=0，
解得t1=

4

3

，t2=

20

3

．
當PA=PB時，有PC⊥AB，此時P，C橫坐標相等，
∴5-t=3-

3

5

t，
解得t₃=5；
當PB=AB時，有
PB2=PQ2+BQ2=

16

25

t2+(5-

1

2

t-3+

3

5

t)2，
∴

13

20

t2+

2

5

t+4=t2，
即7t²-8t-80=0，
解得t4=4，t5=-

20

7

（不合題意，舍去）．
∴當△PAB是等腰三角形時，t=

4

3

，或t=4，或t=5，或t=

20

3

．
又∵C是從M點向左運動的，故t=

4

3

，或t=4，或t=5或t=

20

3

．

點評：本題為代數與幾何有一定難度的綜合題，它綜合考查了用變量t表示點的坐標，直線（射線）與圓的位置關系，相似三角形和方程不等式等方面的知識．
重點考查學生是否認真審題，挖掘出題中的隱含條件，綜合運用數學知識解決實際問題的能力，以及運用轉化的思想，方程的思想，數形結合的思想和分類討論的思想解決實際問題的能力．
由于本題入口平臺較高，不少學生在第（1）題中就畏縮不前，第（2）題中的第①題中，不少學生把射線DE誤為直線，在第（2）題中的第②題，分類討論不全面．