Question

【題目】如圖1，在正方形和正方形中，邊在邊上，正方形繞點按逆時針方向旋轉

（1）如圖2，當時，求證：；

（2）在旋轉的過程中，設的延長線交直線于點．①如果存在某一時刻使得，請求出此時的長；②若正方形繞點按逆時針方向旋轉了，求旋轉過程中，點運動的路徑長．

Answer 1

【答案】（1）見詳解;(2) ;.

【解析】

（1）由正方形的性質得出AD＝AB，AG＝AE，∠BAD＝∠EAG＝90°，由∠BAE＋∠EAD＝∠BAD，∠DAG＋∠EAD＝∠EAG，推出∠BAE＝∠DAG，由SAS即可證得△DAG≌△BAE；

（2）①由AB＝2，AE＝1，由勾股定理得AF＝AE＝，易證△ABF是等腰三角形，由AE＝EF，則直線BE是AF的垂直平分線，設BE的延長線交AF于點O，交AD于點H，則OE＝OA＝，由勾股定理得OB=，由cos∠ABO＝，cos∠ABH＝，求得BH＝，由勾股定理得AH＝=，則DH＝ADAH＝2，由∠DHP＝∠BHA，∠BAH＝∠DPH＝90°，證得△BAH∽△DPH，得出，即可求得DP；

②由△DAG≌△BAE，得出∠ABE＝∠ADG，由∠BPD＝∠BAD＝90°，則點P的運動軌跡為以BD為直徑的，由正方形的性質得出BD＝AB＝2，由正方形AEFG繞點A按逆時針方向旋轉了60°，得出∠BAE＝60°，由AB＝2AE，得出∠BEA＝90°，∠ABE＝30°，B、E、F三點共線，同理D、F、G三點共線，則P與F重合，得出∠ABP＝30°，則所對的圓心角為60°，由弧長公式即可得出結果．

解答：（1）證明：在正方形ABCD和正方形AEFG中，AD＝AB，AGspan>＝AE，∠BAD＝∠EAG＝90°，

∵∠BAE＋∠EAD＝∠BAD，∠DAG＋∠EAD＝∠EAG，

∴∠BAE＝∠DAG，

在△DAG和△BAE中，

，

∴△DAG≌△BAE（SAS）；

∴BE＝DG；

（2）解：①∵AB＝2AE＝2，

∴AE＝1，

由勾股定理得，AF＝AE＝，

∵BF＝BC＝2，

∴AB＝BF＝2，

∴△ABF是等腰三角形，

∵AE＝EF，

∴直線BE是AF的垂直平分線

，設BE的延長線交AF于點O，交AD于點H，如圖3所示：

則OE＝OA＝，

∴OB=，

∵cos∠ABO＝，cos∠ABH＝，

∴BH＝，

AH＝=，

∴DH＝ADAH＝2，

∵∠DHP＝∠BHA，∠BAH＝∠DPH＝90°，

∴△BAH∽△DPH，

∴，

即

∴DP＝；

②

∵△DAG≌△BAE，

∴∠ABE＝∠ADG，

∵∠BPD＝∠BAD＝90°，

∴點P的運動軌跡為以BD為直徑的，

BD＝AB＝2，

∵正方形AEFG繞點A按逆時針方向旋轉了60°，

∴∠BAE＝60°，

∵AB＝2AE，

∴∠BEA＝90°，∠ABE＝30°，

∴B、E、F三點共線，

同理D、F、G三點共線，

∴P與F重合，

∴∠ABP＝30°，

∴所對的圓心角為60°，

∴旋轉過程中點P運動的路線長為：.