Question

【題目】探索研究：已知：△ABC和△CDE都是等邊三角形．

（1）如圖1，若點A、C、E在一條直線上時，我們可以得到結論：線段AD與BE的數量關系為： ，
線段AD與BE所成的銳角度數為°；
（2）如圖2，當點A、C、E不在一條直線上時，請證明（1）中的結論仍然成立；
靈活運用：
如圖3，某廣場是一個四邊形區域ABCD，現測得：AB=60m，BC=80m，且∠ABC=30°，∠DAC=∠DCA=60°，試求水池兩旁B、D兩點之間的距離．

Answer 1

【答案】
（1）相等,60
（2）解：如圖3，以AB為邊在△ABC外側作等邊△ABE，連接CE．

由（2）可得：BD=CE

∴∠EBC=60°+30°=90°，

∴△EBC是直角三角形

∵EB=60m BC=80m，

∴CE= = =100（m）．

∴水池兩旁B、D兩點之間的距離為100m．

【解析】解：（1）如圖1，

∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，

即∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，

由三角形的外角性質，∠DPE=∠PEA+∠DAC，

∠DCE=∠ADC+∠DAC，

∴∠DPE=∠DCE=60°；

所以答案是：相等，60；

⑵如圖2，

∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，

∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，

即∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠DAC=∠EBC，

∴∠BPA=180°﹣∠ABP﹣∠BAP=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=60°．

【考點精析】通過靈活運用等邊三角形的性質，掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°即可以解答此題．