Question

用兩個全等的等邊△ABC和△ACD拼成如圖的菱形ABCD．現把一個含60°角的三角板與這個菱形疊合，使三角板的60°角的頂點與點A重合，兩邊分別與AB、AC重合．將三角板繞點A逆時針方向旋轉．
（1）當三角板的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD相交于點E、F時（圖a），
①猜想BE與CF的數量關系是______；
②證明你猜想的結論．
（2）當三角板的兩邊分別與菱形的兩邊BC、CD的延長線相交于點E、F時（圖b），連接EF，判斷△AEF的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

（1）①BE=CF；
②∵菱形ABCD由等邊△ABC和△ACD拼成，
∴AB=AC，∠B=∠CAB=∠ACD=60°，
而∠FAE=60°，
∴∠BAE=60°-∠CAE=∠CAF，
在△BAE和△CAF中
∵

∠B=∠ACF AB=AC ∠BAE=∠CAF

∴△BAE≌△CAF，
∴BE=CF；

（2）△AEF為等邊三角形．
理由如下：連EF，
∵菱形ABCD由等邊△ABC和△ACD拼成，
∴AC=AD，∠ACB=∠ADC=∠CAD=60°，
∴∠ACE=120°，∠ADF=120°，
∴∠ACE=∠ADF，
而∠FAE=60°，
∴∠CAE=60°-∠DAE=∠DAF，
在△ACE和△ADF中
∵

∠ACE=∠ADF AC=AD ∠CAE=∠DAF

∴△ACE≌△ADF，
∴AE=AF，
∴△AEF為等邊三角形．