Question

【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC繞點A按逆時針方向旋轉得到的,連接BE、CF相交于點D.

(1)求證: BE=CF;

(2)請探究旋轉角等于多少度時,四邊形ABDF為菱形,證明你的結論;

(3)在(2)的條件下,求CD的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）根據旋轉的性質得AE=AF=AB=AC=2，∠EAF=∠BAC=45°，然后根據“SAS”證明△ABE≌△ACF，即可得到結論；

（2）當旋轉角為90時，四邊形ABDF為菱形，則△BAE與△CAF均是等腰直角三角形，然后得到AF∥BE，AB∥CF，又由AB=AF，即可得到結論；

（3）由△ACF為等腰直角三角形，則CF=AF=，然后計算CF-DF即可．

解：（1）由旋轉可得：△AEF≌△ABC，

∴∠BAC=∠EAF,AB=AC=AE=AF，

∴∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE，

即∠BAE=∠CAF，

∴ 在△BAE和△CAF中

，

∴△BAE≌△CAF，

∴BE=CF；

（2）當旋轉角為90時,四邊形ABDF為菱形；

理由如下：

∵旋轉角為90，

∴∠BAE=∠CAF=90，

∴△BAE與△CAF均是等腰直角三角形，

∴∠ABE=∠ACF=45，

∵∠BAF=∠BAE+∠EAF=90+45=135，

∴∠ABE+∠BAF=45+135=180，

∴AF∥BE，

又∵∠BAC=∠ACF=45，

∴AB∥CF.

∴四邊形ABDF為平行四邊形，

∵AB=AF，

∴四邊形ABDF為菱形.

（3）在Rt△CAF中，由勾股定理，

∴，

∵四邊形ABDF為菱形

∴DF=AB=2.

∴CD=CF－DF=.