Question

【題目】如圖，經過原點的拋物線y=﹣x2+2mx（m＞0）與x軸的另一個交點為A．過點P（1，m）作直線PM⊥x軸于點M，交拋物線于點B，記點B關于拋物線對稱軸的對稱點為C（點B，點C不重合）．連接CB，CP．

（1）當m=3時，求點A的坐標及BC的長；
（2）當m＞1時，連接CA，問m為何值時CA⊥CP？
（3）當m＞1時過點P作PE⊥PC且PE=PC，問是否存在m，使得點E落在坐標軸上？若存在，求出所有滿足要求的m的值，并定出相對應的點E坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當m=3時，y=﹣x2+6x=﹣x（x﹣6）．

令y=0得：﹣x（x﹣6）=0，解得x=0或x=6，

∴點A的坐標為（6，0）．

∴拋物線的對稱軸為直線x=3．

∵B、C關于直線x=3對稱，

∴BC=2×（3﹣1）=4

（2）

解：如圖1所示：過點C作AH⊥x軸，垂足為H．

∵拋物線y=﹣x2+2mx的對稱軸為x=m，

∴點B和點C直線x=m對稱．

∵當x=1時，y=2m﹣1，

∴點B的坐標為（1，2m﹣1）．

∴PB=m﹣1．

∵點B與點C關于直線x=m對稱，

∴C（2m﹣1，2m﹣1）．

∴BC=2m﹣2．

∴H（2m﹣1，0）．

∴AH=1，CH=2m﹣1．

∵∠ACH=∠PCB=90°，

∴∠ACH=∠BCP．

又∵∠AHC=∠PCB=90°，

∴△ACH∽△PCB．

∴ = ，即 = ，

∴m=

（3）

解：當m＞1時，BC=2（m﹣1），PM=m，BP=m﹣1．

①若點E在x軸上時，如圖2所示：

∵∠CPE=90°，

∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，

∴∠BPC=∠MEP．

在△BPC和△MEP中， ，

∴△BPC≌△MEP．

∴BC=PM．

∴2（m﹣1）=m，解得m=2，

∴E（2，0）．

若點E在y軸上，如圖3所示：過點P作PN⊥y軸與點N．

∵∠EPC=90°，

∴∠EPB+∠BPC=90°．

∵∠NPE+∠EPB=90°，∠NEP=∠EPB，

∴∠BPC=∠EPN．

在△EPN和△CPB中，

∴△BPC≌△NPE．

∴BP=NP=OM=1，

∴m﹣1=1，

∴m=2

∴E（0，4）．

綜上所述，當m=2時，點E的坐標為（2，0）或（0，4）

【解析】（1）把m=3代入得到拋物線的解析式，然后令y=0得：﹣x（x﹣6）=0，從而可求得點A的坐標，利用拋物線的對稱性可得到拋物線的對稱軸為x=m，然后利用拋物線的對稱性可得到BC的長；（2）過點C作AH⊥x軸，垂足為H．先求得點B和點C的坐標，由點B、點P和點C的坐標可得到PB、BC的長，然后由點C和點A的坐標可求得CH，AH的長，接下來，再證明△ACH∽△PCB，最后依據相似三角形的性質列方程求解即可；（3）當m＞1時，BC=2（m﹣1），PM=m，BP=m﹣1．①若點E在x軸上時，先證明△BPC≌△MEP，依據全等三角形的性質可得到BC=PM，然后依據BC=PM可得到關于m的方程，從而可求得m的值，故此可得到E的坐標；②若點E在y軸上，過點P作PN⊥y軸與點N．然后證明△BPC≌△NPE，則BP=NP=OM=1，則m﹣1=1，可求得m=2，于是可求得點E的坐標．