Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+4與x軸交于A（﹣2，0）、B（4、0）兩點，與y軸交于C點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）T是拋物線對稱軸上的一點，且△ATC是以AC為底的等腰三角形，求點T的坐標；
（3）M、Q兩點分別從A、B點以每秒1個單位長度的速度沿x軸同時出發相向而行，當點M到原點時，點Q立刻掉頭并以每秒 個單位長度的速度向點B方向移動，當點M到達拋物線的對稱軸時，兩點停止運動，過點M的直線l⊥x軸交AC或BC于點P．求點M的運動時間t與△APQ面積S的函數關系式，并求出S的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（﹣2，0），B（4，0）代入y=ax2+bx+4得：

，

解得：a=﹣ ，b=1，

∴拋物線的解析式是：y=﹣ x2+x+4，

答：拋物線的解析式是y=﹣ x2+x+4．

（2）

解：由y=﹣ x2+x+4=﹣ （x﹣1）2+ ，得拋物線的對稱軸為直線x=1，

直線x=1交x軸于點D，設直線x=1上一點T（1，h），

連接TC、TA，作CE⊥直線x=1，垂足是E，

由C（0，4）得點E（1，4），

在Rt△ADT和Rt△TEC中，由TA=TC得32+h2=12+（4﹣h）2，

∴h=1，

∴T的坐標是（1，1），

答：點T的坐標是（1，1）．

（3）

解：（I）當0＜t≤2時，△AMP∽△AOC，

∴ ，PM=2t，

AQ=6﹣t，

∴S= PMAQ= ×2t（6﹣t）=﹣t2+6t=﹣（t﹣3）2+9，

當t=2時S的最大值為8；

（II）當2＜t≤3時，

作PM⊥x軸于M，作PF⊥y軸于點F，

則△COB∽△CFP，

又∵CO=OB，

∴FP=FC=t﹣2，PM=4﹣（t﹣2）=6﹣t，AQ=4+ （t﹣2）= t+1，

∴S= PMAQ= （6﹣t）（ t+1）=﹣ t2+4t+3=﹣ （t﹣ ）2+ ，

當t= 時，S最大值為 ，

綜合（I）（II）S的最大值為 ，

答：點M的運動時間t與△APQ面積S的函數關系式是S=﹣t2+6t（0＜t≤2），S=﹣ t2+4t+3（2＜t≤3），S的最大值是 ．

【解析】（1）把A、B的坐標代入拋物線的解析式得到方程組，求出方程組的解即可；（2）設直線x=1上一點T（1，h），連接TC、TA，作CE⊥直線x=1，垂足是E，根據TA=TC由勾股定理求出即可；（3）（I）當0＜t≤2時，△AMP∽△AOC，推出比例式，求出PM，AQ，根據三角形的面積公式求出即可；（II）當2＜t≤3時，作PM⊥x軸于M，PF⊥y軸于點F，表示出三角形APQ的面積，利用配方法求出最值即可．