Question

【題目】從三角形（不是等腰三角形）一個頂點引出一條射線與對邊相交，頂點與交點之間的線段把這個三角形分割成兩個小三角形，如果分得的兩個小三角形中有一個為等腰三角形，另一個與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個三角形的完美分割線。

（1）如圖1，在△ABC中，CD為角平分線，∠A=40°，∠B=60°，求證：CD為△ABC的完美分割線；

（2）在△ABC中，∠A=48°，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD為等腰三角形，求∠ACB的度數；

（3）如圖2，△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割線，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線CD的長。

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）∠ACB=96°或114°；（3）CD=.

【解析】

試題分析：（1）由∠A=40°，∠B=60°可得∠ACB=80°，即△ABC不是等腰三角形，再判定△ACD是等腰三角形，△BCD∽△BAC,即可得CD為△ABC的完美分割線；（2）分AD=CD，AD=AC，AC=CD三種情況，根據這三種情況分別求出∠ACB的度數，不合題意的舍去；(3)由△BCD∽△BAC可得，設BD=x，代入可得，由于x＞0，即可知x=-1.再由△BCD∽△BAC,所以，解得CD=.

試題解析：（1）∵∠A=40°，∠B=60°，

∴∠ACB=80°，

∴△ABC不是等腰三角形，

又因CD為角平分線，

∴∠ACD=∠BCD=∠ABC=40°，

∴∠ACD=∠A=40°，

∴△ACD是等腰三角形，

∵∠BCD=∠A=40°，∠B=∠B,

∴△BCD∽△BAC,

∴CD為△ABC的完美分割線；

（2）當AD=CD時（如圖①），∠ACD=∠A=48°，

∵△BDC∽△BCA,

∴∠BCD=∠A=48°，

∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°；

當AD=AC時（如圖②），∠ACD=∠ADC=，

∵△BDC∽△BCA,

∴∠BCD=∠A=48°，

∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=114°；

當AC=CD時（如圖③），∠ACD=∠A=48°，

∵△BDC∽△BCA,

∴∠BCD=∠A=48°，

∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍去.

∴∠ACB=96°或114°；

（3）由已知AC=AD=2，

∵△BCD∽△BAC,

∴,

設BD=x

∴

解得x=-1±，

∵x＞0，

∴x=-1.

∵△BCD∽△BAC,

∴,

∴CD=.