Question

【題目】如圖，在等腰中，．點D,E分別在邊AB,BC上，將線段ED繞點E按逆時針方向旋轉90得到EF．

（1）如圖1，若，點E與點C重合，AF與DC相交于點O．求證：．

（2）已知點G為AF的中點．

①如圖2，若，求DG的長．

②若，是否存在點E，使得是直角三角形？若存在，求CE的長；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①，②存在，CE的長為：，2或，.

【解析】

（1）先證明CD＝BD＝AD，再證明，根據全等三角形的性質可得，由此即可證得結論；（2）①分別過點D，F作與點N，與點M，連接BF，先求得BF的長，再證明DG是△ABF的中位線，根據三角形的中位線定理即可求得DG的長；②分∠DEG＝90°和∠EDG＝90°兩種情況求解即可．

解：（1）由旋轉性質得:，

是等腰三角形，

，

在和中，

（2）①如圖1，分別過點D，F作與點N，與點M，連接BF，

又，

，

又，，

，

點D，G分別是AB，AF的中點，

②過點D作與點H

，，

，

當時，有如圖2，3兩種情況，設，

，，

點E在線段AF上，

，，，

，，即，解得，

或，

當時，如圖4，

圖4

過點F作與點K，延長DG交AC于點N，延長AC并截取，連接FM，

則，，

設，則，，

，，，

，，得，

，，

四邊形GECN是平行四邊形，

∵，

四邊形GECN是矩形， 當時，有

當時，如圖5，

圖5

過點G，F分別作AC的垂線，交射線AC于點N，M，過點E作于點K，過點D作GN的垂線，交NG的延長線于點P，則

設，則，

由可得：

，

由可得：

即

解得，（舍去）

所以，CE的長為：，2或，