Question

【題目】已知矩形ABCD的一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處．

（1）如圖1，已知折痕與邊BC交于點O，連接AP、OP、OA．

①求證：△OCP∽△PDA；

②若△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊AB的長．

（2）若圖1中的點P恰好是CD邊的中點，求∠OAB的度數；

（3）如圖2，在（1）的條件下，擦去折痕AO，線段OP，連結BP，動點M在線段AP⊥（點M與點F、A不重合），動點N在線段AB的延長線上，且BN=PM，連結MN交PB于點F，作ME⊥BP于點E．試問當點M、N在移動過程中，線段EF的長度是否發生變化？若變化，說明理由；說明理由；若不變，求出線段EF的長度．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

（1）①根據折疊的性質得到∠APO=∠B=90°，根據相似三角形的判定定理證明△OCP∽△PDA；

②根據相似三角形的面積比等于相似比的平方解答；

（2）根據直角三角形的性質得到∠DAP=30°，根據折疊的性質解答即可；

（3）作MQ∥AB交PB于Q，根據等腰三角形的性質和相似三角形的性質得到EF=PB，根據勾股定理求出PB，計算即可．

解：（1）①由折疊的性質可知，∠APO=∠B=90°，

∴∠APD+∠OPC=90°，又∠POC+∠OPC=90°，

∴∠APD=∠POC，又∠D=∠C=90°，

∴△OCP∽△PDA；

②∵△OCP與△PDA的面積比為1：4，

∴△OCP與△PDA的相似比為1：2，

∴PC=AD=4，

設AB=x，則DC=x，AP=x，DP=x﹣4，

在Rt△APD中，AP2=AD2+PD2，即x2+82=（x﹣4）2，

解得，x=10，即AB=10；

（2）∵點P是CD邊的中點，

∴DP=DC，又AP=AB=CD，

∴DP=AP，

∴∠DAP=30°，

由折疊的性質可知，∠OAB=∠OAP=30°；

（3）EF的長度不變．

作MQ∥AB交PB于Q，

∴∠MQP=∠ABP，

由折疊的性質可知，∠APB=∠ABP，

∴∠MQP=∠APB，

∴MP=MQ，又BN=PM，

∴MQ=BN，

∵MQ∥AB，

∴，

∴QF=FB，

∵MP=MQ，ME⊥BP，

∴PE=QE，

∴EF=PB，

由（1）得，PC=4，BC=8，

∴PB==4，

∴EF=2．