Question

23、已知：如圖，⊙O半徑為6．過⊙O外一點P作⊙O的切線PA，A為切點，∠OPA=30°．過PO與⊙O的交點B作直線BC交PA于點C，交⊙O于點D．
（1）求∠ADC的度數；
（2）如果BC⊥PA，求此時弦BD的長．

Answer 1

分析：（1）連接OA，根據切線的性質推出∠BOA=60°，然后根據圓周角定理即可推出∠ADC=30°，（2）連接OD，結合已知條件即可推出∠OBD=60°，△OBD為等邊三角形，即可得BD的長度．

解答：解：（1）連接OA，
∵PA是⊙O的切線，
∴OA⊥PA，
∵∠P=30°，
∴∠BOA=60°，
∴∠ADC=30°，

（2）連接OD，
∵∠P=30°，DC⊥PA，
∴∠PBC=60°，
∴∠OBD=60°，
∵OB=OD=6，
∴△OBD為等邊三角形，
∴OD=BD=6．

點評：本題主要考查圓周角定理、切線性質、直角三角形的性質，關鍵在于做好輔助線，求證△OBD為等邊三角形．