Question

【題目】(1)探索發(fā)現(xiàn)

如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，△ABD與△ADC面積分別記為S1和S2，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

(2)閱讀分析

小東遇到這樣一個(gè)問題：如圖2，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，射線AM交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E，F在AM上，且∠CEM=∠BFM=90°，試判斷BF，CE，EF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.

小東利用一對(duì)全等三角形，經(jīng)過推理使問題得以解決.

填空：①圖2中的一對(duì)全等三角形為_________；

②BF，CE，EF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系為__________________.

(3)類比探究

如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F在射線AC上，且∠BCF=∠DEF=∠BAD.

①判斷BC，DE，CE三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②若OD=3OB，△AED的面積為2，直接寫出四邊形ABCD的面積.

Answer 1

【答案】（1）=;（2）①△AEC≌△BFA，②EC=EF+BF; （3）①DE=BC+CE, ②8

【解析】

（1）過點(diǎn)A作AEBC,然后根據(jù)三角形面積公式求得兩個(gè)三角形的面積，即可得出答案；（2）依據(jù)AAS可證明△AEC≌△BFA,由全等三角形的性質(zhì)可得，AE=BF,EC=AF,由AF=EF+AE,通過等量代換即可得出答案；

（3）①依據(jù)AAS可證明△ABC≌△DAE,通過等量代換即可得出答案，②因?yàn)椤鰽ED的面積為2，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得S△ABC=2,然后根據(jù)（1）中的結(jié)論可求S△ADC=3S△ABC=6,即可得到答案.

解：（1）=,

理由：如圖，過點(diǎn)A作AEBC,

∵S1=S△ABD=BDAE,S2= S△ADC=DCAE,

∴==;

（2）①△AEC≌△BFA，

理由：∵∠CEM=∠BFM=90°,

∴∠BFA=∠AEC=90°,

∴∠ABF+∠BFA=90°,

又∵∠BFA+∠FAC=90°,

∴∠ABF=∠EAC,

∵∠BFA=∠AEC=90°,

∠ABF=∠EAC,AB=AC,

∴△AEC≌△BFA.

②EC=EF+BF,

理由：∵△AEC≌△BFA,

∴AE=BF,EC=AF,

又∵AF=EF+AE,

∴EC=EF+BF.

（3）①DE=BC+CE,

理由：∵∠BCF=∠DEF,

∴∠AED=∠BCA,

∵∠ADE+∠EAD=∠DEF,

∠ABF+∠FAD=∠BAD,

∠DEF=∠BAD,

∴∠BAF=∠ADE,

∵∠AED=∠BCA,

∠BAC=∠ADE,AB=AD,

∴△ABC≌△DAE,

∴BC=AE,DE=AC,

又∵AC=AE+EC,

∴DE=BC+CE.

②∵△ABC≌△DAE, S△AED=2,

∴S△ABC=2,

∵OD=3OB,

∴,,

∴S△ADC=3S△ABC=6,

∴S四邊形ABCD= S△ADC+ S△ABC=8.