Question

（2012•新昌縣模擬）如圖，拋物線與x軸交于點A（3，0），B（8，0），與y軸交于點C，且AC平分∠OCB，直線l是它的對稱軸．
（1）求直線l和拋物線的解析式；
（2）直線BC與l相交于點D，沿直線l平移直線BC，與直線l，y軸分別交于點E，F，探究四邊形CDEF為菱形時點E的坐標；
（3）線段CB上有一動點P，從C點開始以每秒一個單位的速度向B點運動，PM⊥BC，交線段CA于點M，記點P運動時間為t，△CPO與△CPM的面積之差為y，求y與t（0＜t≤6）之間的關系式，并確定在運動過程中y的最大值．  

Answer 1

分析：（1）利用A（3，0），B（8，0）的橫坐標，求出直線l表達式，即3與8的平均數即為l的表達式；
（2）在Rt△ABC中，求出tanB=

OC

OB

=

3

4

，BC=

62+82

=10，cosB=

4

5

，然后求出D點坐標，用BC-DB=10-

25

8

=

55

8

表示出CD的長，進而求出E點坐標；
（3）過點P作PL⊥OC，垂足為L，則∠CPL=∠B，由題意得CP=t，則LP=CP，表示出△CPO的面積為：

1

2

OC•LP=

12

5

t，在Rt△AOC中，表示出△CPM的面積為

1

2

CP•PM=

1

4

t2，從而得到y=

12

5

t-

1

4

t2 （0＜t≤6），進而求出最大值．

解答：解：（1）直線l的解析式x=

3+8

2

=

11

2

．
如圖，過A作AK⊥BC于點K，
∵AC平分∠OCB，
∴AK=OA=3，CK=OC，AB=5，
∴KB=4．
方法一：設OC=x則CB=x+4，由勾股定理得：x²+8²=（x+4）²，得x=6，
∴C的坐標為（0，6）．
方法二：由△ABK∽△CBO得

AK

OC

=

KB

OB

，得OC=6，
∴C的坐標為（0，6）
設拋物線解析式為：y=a（x-3）（x-8），將點C坐標代入可得a=

1

4

，
∴所求拋物線解析式為：y=

1

4

(x-3)(x-8)，
即y=

1

4

x2-

11

4

x+6．
（2）方法一：
如圖，記直線l與x軸交于點N，則NB=2.5，
∵在Rt△OBC中，tanB=

OC

OB

=

3

4

，BC=

62+82

=10，
cosB=

4

5

，則DN=NB•tanB=

5

2

×

3

4

=

15

8

，
DB=

NB

cosB

=

25

8

，
∴D點坐標為（

11

2

，

15

8

）．
CD=BC-DB=10-

25

8

=

55

8

即菱形邊長為

55

8

．

15

8

+

55

8

=

35

4

，

15

8

-

55

8

=-5，
∴E點坐標為（

11

2

，

35

4

）或（

11

2

，-5）．
方法二：四邊形CDEF為菱形時，有兩種情況：
①當BC往下平移時，由菱形性質知，點E₁即為直線CA與對稱軸交點．
求得直線AC方程為：y=-2x+6，
與對稱軸x=

11

2

的交點為E₁（

11

2

，-5）．
②當BC往上平移時，即D點往上平移菱形的邊長個單位得E₂．
求得直線BC：y=-

3

4

x+6，與對稱軸x=

11

2

交點D的縱坐標為y_D=

15

8

，
菱形邊長為y_D-y_E=

15

8

-（-5）=

55

8

，E₂點縱坐標為：

15

8

+

55

8

=

35

4

．                                         
∴四邊形CDEF為菱形時，E₁（

11

2

，-5），E₂（

11

2

，

35

4

）．
（3）過點P作PL⊥OC，垂足為L，則∠CPL=∠B，
而Rt△BOC中，sin∠B=

OC

BC

=

3

5

，cos∠B=

4

5

，
由題意得CP=t，則LP=CPcos∠B=

4t

5

，
△CPO的面積為：

1

2

OC•LP=

12

5

t，
∵CA平分∠OCB，
∴∠MCP=∠OCA，
Rt△AOC中，tan∠OCA=

OA

OC

=

1

2

，
∴PM=

t

2

．
△CPM的面積為：

1

2

CP•PM=

1

4

t2，
∴y=

12

5

t-

1

4

t2 （0＜t≤6），
當t=

24

5

時，y有最大值為

144

25

．

點評：本題考查了二次函數綜合題，涉及待定系數法求二次函數解析式、動點問題、函數最值、配方法等知識，是一道綜合性很強的題目，有一定難度．