Question

【題目】綜合與實踐

問題情境

在中，，，于點，點是射線上一點，連接，過點作于點，且交直線于點.

（1）如圖1，當點在線段上時，求證：.

自主探究

（2）如圖2，當點在線段上時，其它條件不變,請猜想與之間的數量關系，并說明理由.

拓展延伸

（3）如圖3，當點在線段的延長線上時，其它條件不變,請直接寫出與之間的數量關系.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)；證明見解析；(3).

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質得到∠A=∠ABC，根據同角的余角相等得到∠CBG=∠ACE，根據ASA公理證明△ACE≌△CBG；
（2）同理即可證明△ACE≌△CBG；
（3）CG=AE.

解：（1）在Rt△ABC中，
∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC=45°．
∵點D是AB的中點，
∴∠BCG=∠ACB=45°，
∴∠A=∠BCG．
∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°．
∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠CBG=∠ACE，
在△ACE和△CBG中，

,

∴△ACE≌△CBG；
（2）結論仍然成立，即△ACE≌△CBG．
理由如下：在Rt△ABC中，
∵AC=BC，
∴∠A=∠ABC=45°．
∵點D是AB的中點，
∴∠BCG=∠ACB=45°，
∴∠A=∠BCG．
∵BF⊥CE，
∴∠CBG+∠BCF=90°．
∵∠ACE+∠BCF=90°，
∴∠CBG=∠ACE，
∴△ACE≌△CBG；

（3）CG=AE.