Question

如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知點A（a，0）（a＞0），B（2，3），C（0，3）．過原點O作直線l，使它經過第一、三象限，直線l與y軸的正半軸所成角設為θ，將四邊形OABC的直角∠OCB沿直線l折疊，點C落在點D處，我們把這個操作過程記為FZ[θ，a]．

【理解】
若點D與點A重合，則這個操作過程為FZ[　 　，　 　]；
【嘗試】
（1）若點D恰為AB的中點（如圖2），求θ；

（2）經過FZ[45°，a]操作，點B落在點E處，若點E在四邊形0ABC的邊AB上，求出a的值；若點E落在四邊形0ABC的外部，直接寫出a的取值范圍；
【探究】
經過FZ[θ，a]操作后，作直線CD交x軸于點G，交直線AB于點H，使得△ODG與△GAH是一對相似的等腰三角形，直接寫出FZ[θ，a]．

Answer 1

【理解】45°；3。
【嘗試】（1）θ=30°。
（2）0＜a＜5
【探究】FZ[30°，2+]，FZ[60°，2+]。

試題分析：【理解】若點D與點A重合，由折疊性質可知，OA=OC=3，θ=∠AOC=45°，∴FZ[45°，3]。
【嘗試】
（1）如答圖1所示，若點D恰為AB的中點，連接CD并延長交x軸于點F．證明△BCD≌△AFD，進而得到△OCD為等邊三角形，則θ=30°。
（2）如答圖2所示，若點E在四邊形OABC的邊AB上，則△ADE為等腰直角三角形，由此求出a=OA=OD+OA=5。由答圖2進一步得到，當0＜a＜5時，點E落在四邊形OABC的外部。
【探究】滿足條件的圖形有兩種，如答圖3、答圖4所示。
解：【理解】45°；3。
【嘗試】
（1）如答圖1所示，連接CD并延長，交x軸于點F，

在△BCD與△AFD中，∵，
∴△BCD≌△AFD（ASA）。
∴CD=FD，即點D為Rt△COF斜邊CF的中點。
∴OD=CF=CD。
又由折疊可知，OD=OC，∴OD=OC=CD。
∴△OCD為等邊三角形，∠COD=60°。∴θ=∠COD=30°。
（2）經過FZ[45°，a]操作，點B落在點E處，則點D落在x軸上，AB⊥直線l，如答圖2所示，

若點E四邊形OABC的邊AB上，
由折疊可知，OD=OC=3，DE=BC=2。
∵AB⊥直線l，θ=45°，∴△ADE為等腰直角三角形。
∴AD=DE=2。∴OA=OD+AD=3+2=5。∴a=5。
由答圖2可知，當0＜a＜5時，點E落在四邊形OABC的外部。
【探究】FZ[30°，2+]，FZ[60°，2+]。如答圖3、答圖4所示。