Question

如圖1，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點O在坐標原點，頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，且OA＝2，OC＝1，矩形對角線AC、OB相交于E，過點E的直線與邊OA、BC分別相交于點G、H．
(1)①直接寫出點E的坐標：　　．
②求證：AG＝CH．
(2)如圖2，以O為圓心，OC為半徑的圓弧交OA與D，若直線GH與弧CD所在的圓相切于矩形內一點F，求直線GH的函數關系式．
(3)在(2)的結論下，梯形ABHG的內部有一點P，當⊙P與HG、GA、AB都相切時，求⊙P的半徑．

Answer 1

解：（1）① (1，)。
②證明：∵四邊形OABC是矩形，∴CE＝AE，BC∥OA。∴∠HCE＝∠GAE。
∵在△CHE和△AGE中，∠HCE＝∠GAE， CE＝AE，∠HEC＝∠G EA，
∴△CHE≌△AGE（ASA）。∴AG＝CH。
（2）連接DE并延長DE交CB于M，連接AC， 則由矩形的性質，點E在AC上。

∵DD＝OC＝1＝OA，∴D是OA的中點。
∵在△CME和△ADE中，
∠MCE＝∠DAE， CE＝AE，∠MEC＝∠DEA，
∴△CME≌△ADE（ASA）。∴CM＝AD＝2－1＝1。
∵BC∥OA，∠COD＝90°，∴四邊形CMDO是矩形。∴MD⊥OD，MD⊥CB。
∴MD切⊙O于D。
∵HG切⊙O于F，E(1，)，∴可設CH＝HF＝x，FE＝ED＝＝ME。
在Rt△MHE中，有MH²＋ME²＝HE²，即(1－x)²＋()²＝(＋x)²，解得x＝。
∴H(，1)，OG＝2－。∴G(，0)。
設直線GH的解析式是：y＝kx＋b，
把G、H的坐標代入得：，解得：。
∴直線GH的函數關系式為。
（3）連接BG，

∵在△OCH和△BAG中，
CH=AG，∠HCO＝∠GAB，OC=AB，
∴△OCH≌△BAG（SAS）。∴∠CHO＝∠AGB。
∵∠HCO＝90°，∴HC切⊙O于C，HG切⊙O于F。
∴OH平分∠CHF。∴∠CHO＝∠FHO＝∠BGA。
∵△CHE≌△AGE，∴HE＝GE。
∵在△HOE和△GBE中，HE＝GE，∠HEO＝∠GEB，OE=BE，
∴△HOE≌△GBE（SAS）。∴∠OHE＝∠BGE。
∵∠CHO＝∠FHO＝∠BGA，∴∠BGA＝∠BGE，即BG平分∠FGA。
∵⊙P與HG、GA、AB都相切，∴圓心P必在BG上。
過P做PN⊥GA，垂足為N，則△GPN∽△GBA。∴。
設半徑為r，則，解得。
答：⊙P的半徑是．

一次函數綜合題，矩形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，切線的判定和性質，勾股定理，待定系數法，直線上點的坐標與方程的關系，角平分線的判定和性質，相似三角形的判定和性質。
【分析】（1）)①根據矩形的性質和邊長即可求出E的坐標。
②推出CE＝AE，BC∥OA，推出∠HCE＝∠EAG，證出△CHE≌△AGE即可。
（2）連接DE并延長DE交CB于M，求出DD＝OC＝OA，證△CME≌△ADE，推出四邊形CMDO是矩形，求出MD切⊙O于D，設CH＝HF＝x，推出(1－x)²＋()²＝(＋x)²，求出H、G的坐標，設直線GH的解析式是y＝kx＋b，把G、H的坐標代入求出即可。
（3）連接BG，證△OCH≌△BAG，求出∠CHO＝∠AGB，證△HOE≌△GBE，求出∠OHE＝∠BGE，得出BG平分∠FGA，推出圓心P必在BG上，過P做PN⊥GA，垂足為N，根據△GPN∽△GBA，得出，設半徑為r，代入求出即可。