Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線EF經過點C，AD⊥EF于點D，∠DAC=∠BAC．

（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）求證：AC²=AD•AB；
（3）若⊙O的半徑為2，∠ACD=30°，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

（1）見解析   （2）見解析   （3）﹣π

（1）證明：連接OC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∵∠DAC=∠BAC，
∴∠OCA=∠DAC，
∴OC∥AD，
∵AD⊥EF，
∴OC⊥EF，
∵OC為半徑，
∴EF是⊙O的切線．
（2）證明：∵AB為⊙O直徑，AD⊥EF，
∴∠BCA=∠ADC=90°，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ACB∽△ADC，
∴=，
∴AC²=AD•AB．
（3）解：∵∠ACD=30°，∠OCD=90°，
∴∠OCA=60°，
∵OC=OA，
∴△OAC是等邊三角形，
∴AC=OA=OC=2，∠AOC=60°，
∵在Rt△ACD中，AD=AC=1，
由勾股定理得：DC=，
∴陰影部分的面積是S=S_梯形OCDA﹣S_扇形OCA=×（2+1）×﹣=﹣π．