Question

【題目】如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O分別于BC，AC相交于點D，E，BD=CD，過點D作⊙O的切線交邊AC于點F．
（1）求證：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半徑為5，∠CDF=30°，求 的長（結果保留π）．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接OD，如圖所示．

∵DF是⊙O的切線，D為切點，

∴OD⊥DF，

∴∠ODF=90°．

∵BD=CD，OA=OB，

∴OD是△ABC的中位線，

∴OD∥AC，

∴∠CFD=∠ODF=90°，

∴DF⊥AC

（2）

解：∵∠CDF=30°，

由（1）得∠ODF=90°，

∴∠ODB=180°﹣∠CDF﹣∠ODF=60°．

∵OB=OD，

∴△OBD是等邊三角形，

∴∠BOD=60°，

∴ 的長= π

【解析】（1）連接OD，由切線的性質即可得出∠ODF=90°，再由BD=CD，OA=OB可得出OD是△ABC的中位線，根據三角形中位線的性質即可得出，根據平行線的性質即可得出∠CFD=∠ODF=90°，從而證出DF⊥AC；（2）由∠CDF=30°以及∠ODF=90°即可算出∠ODB=60°，再結合OB=OD可得出△OBD是等邊三角形，根據弧長公式即可得出結論． 本題考查了切線的性質、弧長公式、平行線的性質、三角形中位線定理以及等邊三角形的判斷，解題的關鍵是：（1）求出∠CFD=∠ODF=90°；（2）找出△OBD是等邊三角形．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，通過角的計算找出90°的角是關鍵．