Question

【題目】如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，∠CAB的平分線分別交BD、BC于E、F，作BH⊥AF于點H，分別交AC、CD于點G、P，連結GE、GF．

（1）求證：△OAE≌△OBG．

（2）試問：四邊形BFGE是否為菱形？若是，請證明；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）菱形.

【解析】試題分析：

（1）這兩個三角形有一條直角邊相等，一個直角相等只需證還有一條邊相等即可；

（2）先證AF是BG的垂直平分線，再分別求出∠BEF和∠BFE的度數.

試題解析：

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴OA=OB，∠AOE=∠BOG=90°．

∵BH⊥AF，∴∠AHG=∠AHB=90°，∴∠GAH+∠AGH=90°=∠OBG+∠AGH，

∴∠GAH=∠OBG，即∠OAE=∠OBG．

∴在△OAE與△OBG中，，

∴△OAE≌△OBG（ASA）；

（2）解：四邊形BFGE為菱形；理由如下：

在△AHG與△AHB中，，

∴△AHG≌△AHB（ASA），∴GH=BH，

∴AF是線段BG的垂直平分線，∴EG=EB，FG=FB．

∵∠BEF=∠BAE+∠ABE=67.5°，∠BFE=90°﹣∠BAF=67.5°，

∴∠BEF=∠BFE，∴EB=FB，∴EG=EB=FB=FG，

∴四邊形BFGE是菱形.

點睛;本題主要考查了正方形的性質、三角形全等的判定與性質、菱形的判定、線段垂直平分線的性質等知識點是一個比較難的四邊形的綜合題，在證明的過程中要注意一個基本幾何圖形“8字形”的運用，如下圖通常稱為“8字形”，如果∠A=∠B，那么∠D=∠C，這種尋找角的關系的圖形在幾何證明中會經常遇到，需要熟悉掌握.