Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，把矩形COAB繞點C順時針旋轉α角，得到矩形CFED．設FC與AB交于點H，且A（0，4），C（8，0）．

（1）當α=60°時，△CBD的形狀是______；

（2）設AH=m

①連接HD，當△CHD的面積等于10時，求m的值；

②當0°＜α＜90°旋轉過程中，連接OH，當△OHC為等腰三角形時，請直接寫出m的值．

Answer 1

【答案】（1）等邊三角形（2）①m=5；②m的值是4或4或8-4

【解析】

（1）先根據旋轉的性質得∠BCD=60°，CB=CD，然后根據等邊三角形的判定方法得到△CBD為等邊三角形；

（2）①根據△CHD的面積等于10，可得CH=5，利用勾股定理計算BH的長，從而得m的值；

②分三種情況：

i）當OH=CH時，如圖2，

ii）當OH=OC=8時，如圖3，

iii）當OC=CH=8時，如圖4，此時F與H重合，

分別根據勾股定理計算可得結論．

解：（1）∵矩形COAB繞點C順時針旋轉60度的角，得到矩形CFED，

∴∠BCD=60°，CB=CD，

∴△CBD為等邊三角形；

故答案為：等邊三角形；

（2）①∵四邊形CFED是矩形，

∴∠DCH=90°，

∵△CHD的面積等于10，

∴CDCH=10，

∵CD=4，

∴，CH=5，

Rt△BCH中，由勾股定理得：BH===3，

∴AH=8-3=5，

即m=5；

②當△OHC為等腰三角形時，分三種情況：

i）當OH=CH時，如圖2，

∵OA=BC，

∴Rt△AOH≌Rt△BCH（HL），

∴AH=BH=4，

即m=4；

ii）當OH=OC=8時，如圖3，

∵OA=4，

由勾股定理得：AH===4，

即m=4；

iii）當OC=CH=8時，如圖4，此時F與H重合，

則BH=4，

∴m=8-4，

綜上，m的值是4或4或8-4．