Question

【題目】如圖，拋物線與軸相交于，兩點(diǎn)，頂點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在該拋物線上.

（1）若點(diǎn)坐標(biāo)為.

①求與的函數(shù)關(guān)系式；

②已知兩點(diǎn)，，當(dāng)拋物線與線段沒有交點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍；

（2）若點(diǎn)在該拋物線的曲線段上（不與點(diǎn)，重合），直線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，連接，.求證：.

Answer 1

【答案】（1）①；②當(dāng)或時(shí)，該拋物線與線段沒有交點(diǎn).（2）詳見解析.

【解析】

（1）①將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可得；

②當(dāng)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)N的左側(cè)或在點(diǎn)M的右側(cè)時(shí)，拋物線與線段MN均無交點(diǎn).方法一：利用拋物線二次項(xiàng)系數(shù)與開口大小的關(guān)系求解；方法二：利用二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性及對(duì)稱軸的位置列出不等式求解即可；

（2）如圖（見解析），過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，根據(jù)拋物線的解析式可求出點(diǎn)D和A的坐標(biāo)，從而可知DH和AH的長，再設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求出PD所在直線的解析式，從而求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，也就可以得知OC和OB的長，由此可得，根據(jù)相似三角形的判定定理與性質(zhì)可得，最后根據(jù)平行線的判定定理即可.

（1）①∵拋物線經(jīng)過

故b與a的函數(shù)關(guān)系式為：

② 由（1）得

方法一，有兩種情況：

（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)

，解得

越大，拋物線開口越小

∴當(dāng)時(shí)，拋物線與線段沒有交點(diǎn)

（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)

，解得

越小，拋物線開口越大，且

∴當(dāng)時(shí)拋物線與線段沒有交點(diǎn)

綜上所述，當(dāng)或時(shí)，該拋物線與線段沒有交點(diǎn)；

方法二，有兩種情況：

（Ⅰ）當(dāng)拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，拋物線與線段沒有交點(diǎn)

∵拋物線開口向下，經(jīng)過原點(diǎn)且頂點(diǎn)在第一象限，對(duì)稱軸為

解得

（Ⅱ）當(dāng)拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，拋物線與線段沒有交點(diǎn)

解得

綜上所述，當(dāng)或時(shí)，該拋物線與線段沒有交點(diǎn)；

（2）如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)

∵拋物線的頂點(diǎn)

當(dāng)時(shí)，

∴ 點(diǎn)，

設(shè)直線為：，，則

將點(diǎn)P和D的坐標(biāo)代入得：，解得：

則直線為：

又

.