Question

【題目】如圖，矩形中，，將矩形繞點旋轉得到矩形，使點的對應點落在上，交于點，在上取點，使．

（1）求證：；

（2）求的度數；

（3）若，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）15°；（3）2+2．

【解析】

（1）在直角三角形ABC中，由AC=2AB，得到∠ACB=30°，再由折疊的性質得到一對角相等，利用等角對等邊即可得證；
（2）由（1）得到△ABB′為等邊三角形，利用矩形的性質及等邊三角形的內角為60°，即可求出所求角度數；
（3）連接AF，過A作AM⊥BF，可得△AB′F是等腰直角三角形，△AB′B為等邊三角形，分別利用三角函數定義求出MF與AM，根據AM=BM，即BM+MF=BF即可求出．

（1）證明：∵在Rt△ABC中，AC=2AB，
∴∠ACB=∠AC′B′=30°，∠BAC=60°，
由旋轉可得：AB′=AB，∠B′AC′=∠BAC=60°，
∴∠EAC′=∠AC′B′=30°，

∴AE=C′E；
（2）解：由（1）得到△ABB′為等邊三角形，
∴∠AB′B=60°，即∠BB'F=∠AB'B+∠AB'F=150°，
∵BB'=B'F，
∴∠FBB′=∠B'FB=15°；
（3）解：連接AF，過A作AM⊥BF，可得△AB′F是等腰直角三角形，△AB′B為等邊三角形，
∴∠AFB′=45°，∠BB′F=150°，
∵BB′=B′F，
∴∠B′FB=∠B′BF=15°，
∴∠AFM=30°，∠ABF=45°，
在Rt△AMF中，AM=BM=ABcos∠ABM=2=2，
在Rt△AMF中，MF=AM=2，
則BF=2+2．