Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點E是AC上一點，連接BE．

（1）如圖1，若AB=，BE=5，求AE的長；

（2）如圖2，點D是線段BE延長線上一點，過點A作AF⊥BD于點F，連接CD、CF，當AF=DF時，求證：DC=BC．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）根據等腰直角三角形的性質得到AC=BC=AB=4，根據勾股定理得到CE==3，于是得到結論；

（2）根據等腰直角三角形的性質得到∠CAB=45°，由于∠AFB=∠ACB=90°，推出A，F(xiàn)，C，B四點共圓，根據圓周角定理得到∠CFB=∠CAB=45°，求得∠DFC=∠AFC=135°，根據全等三角形的性質即可得到結論．

試題解析：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴AC=BC=AB=4，∵BE=5，∴CE==3，∴AE=4﹣3=1；

（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=45°，∵AF⊥BD，∴∠AFB=∠ACB=90°，∴A，F(xiàn)，C，B四點共圓，∴∠CFB=∠CAB=45°，∴∠DFC=∠AFC=135°，在△ACF與△DCF中，∵AF=DF，∠AFC=∠DFC，CF=CF，∴△ACF≌△DCF，∴CD=AC，∵AC=BC，∴AC=BC．